微积分学示例

$\int x \ln^{2} (x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln^{2} (x)$ ， $d v = x$ 。

$\ln^{2} (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\ln^{2} (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

解题步骤 2.2

组合 $\ln^{2} (x)$ 和 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

解题步骤 3

将 $\frac{1}{2} x^{2} \frac{\ln (x^{2})}{x}$ 重写为 $\frac{1}{2} x^{2} \frac{2 \ln (x)}{x}$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{2 \ln (x)}{x} d x$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{2 \ln (x)}{x} d x)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{2 \ln (x)}{x}$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2} (2 \ln (x))}{x} d x)$

解题步骤 5.2

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

从 $x^{2} (2 \ln (x))$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (x (2 \ln (x)))}{x} d x)$

解题步骤 5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (x (2 \ln (x)))}{x^{1}} d x)$

解题步骤 5.2.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (x (2 \ln (x)))}{x \cdot 1} d x)$

解题步骤 5.2.2.3

约去公因数。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (x (2 \ln (x)))}{x \cdot 1} d x)$

解题步骤 5.2.2.4

重写表达式。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (2 \ln (x))}{1} d x)$

解题步骤 5.2.2.5

用 $x (2 \ln (x))$ 除以 $1$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x (2 \ln (x)) d x)$

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x (2 \ln (x)) d x$

解题步骤 6

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (2 \int x (\ln (x)) d x)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - 2 (\frac{1}{2}) \int x (\ln (x)) d x$

解题步骤 7.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} + \frac{- 2}{2} \int x (\ln (x)) d x$

解题步骤 7.3

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int x (\ln (x)) d x$

解题步骤 7.3.2

约去公因数。

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解题步骤 7.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int x (\ln (x)) d x$

解题步骤 7.3.2.2

约去公因数。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int x (\ln (x)) d x$

解题步骤 7.3.2.3

重写表达式。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} + \frac{- 1}{1} \int x (\ln (x)) d x$

解题步骤 7.3.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - \int x (\ln (x)) d x$

解题步骤 8

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (x)$ ， $d v = x$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 9.2

组合 $\ln (x)$ 和 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 9.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 9.4

将 $\frac{x^{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

解题步骤 9.5

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 9.5.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

解题步骤 9.5.2

约去公因数。

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解题步骤 9.5.2.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

解题步骤 9.5.2.2

约去公因数。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

解题步骤 9.5.2.3

重写表达式。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x}{2} d x)$

解题步骤 10

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x))$

解题步骤 11

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

解题步骤 12

化简答案。

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解题步骤 12.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$

解题步骤 12.2

将 $\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$ 重写为 $\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$

解题步骤 12.3

化简。

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解题步骤 12.3.1

要将 $- (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

解题步骤 12.3.2

组合 $- (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4})$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} + \frac{- (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

解题步骤 12.3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

解题步骤 12.3.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - 2 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4})}{2} + C$

解题步骤 12.4

化简。

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解题步骤 12.4.1

运用分配律。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - 2 \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - 2 (- \frac{x^{2}}{4})}{2} + C$

解题步骤 12.4.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.4.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + 2 (- 1) \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - 2 (- \frac{x^{2}}{4})}{2} + C$

解题步骤 12.4.2.2

约去公因数。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + 2 \cdot - 1 \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - 2 (- \frac{x^{2}}{4})}{2} + C$

解题步骤 12.4.2.3

重写表达式。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\ln (x) x^{2}) - 2 (- \frac{x^{2}}{4})}{2} + C$

解题步骤 12.4.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.4.3.1

将 $- \frac{x^{2}}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\ln (x) x^{2}) - 2 \frac{- x^{2}}{4}}{2} + C$

解题步骤 12.4.3.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\ln (x) x^{2}) + 2 (- 1) \frac{- x^{2}}{4}}{2} + C$

解题步骤 12.4.3.3

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\ln (x) x^{2}) + 2 \cdot - 1 \frac{- x^{2}}{2 \cdot 2}}{2} + C$

解题步骤 12.4.3.4

约去公因数。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\ln (x) x^{2}) + 2 \cdot - 1 \frac{- x^{2}}{2 \cdot 2}}{2} + C$

解题步骤 12.4.3.5

重写表达式。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\ln (x) x^{2}) - \frac{- x^{2}}{2}}{2} + C$

解题步骤 12.4.4

化简每一项。

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解题步骤 12.4.4.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - \ln (x) x^{2} - - \frac{x^{2}}{2}}{2} + C$

解题步骤 12.4.4.2

乘以 $- - \frac{x^{2}}{2}$ 。

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解题步骤 12.4.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - \ln (x) x^{2} + 1 \frac{x^{2}}{2}}{2} + C$

解题步骤 12.4.4.2.2

将 $\frac{x^{2}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - \ln (x) x^{2} + \frac{x^{2}}{2}}{2} + C$

解题步骤 12.4.5

要将 $- \ln (x) x^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - \ln (x) x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}{2} + C$

解题步骤 12.4.6

组合 $- \ln (x) x^{2}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{- \ln (x) x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}{2} + C$

解题步骤 12.4.7

在公分母上合并分子。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{- \ln (x) x^{2} \cdot 2 + x^{2}}{2}}{2} + C$

解题步骤 12.4.8

化简分子。

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解题步骤 12.4.8.1

从 $- \ln (x) x^{2} \cdot 2 + x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 12.4.8.1.1

从 $- \ln (x) x^{2} \cdot 2$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- \ln (x) \cdot 2) + x^{2}}{2}}{2} + C$

解题步骤 12.4.8.1.2

乘以 $1$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- \ln (x) \cdot 2) + x^{2} \cdot 1}{2}}{2} + C$

解题步骤 12.4.8.1.3

从 $x^{2} (- \ln (x) \cdot 2) + x^{2} \cdot 1$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- \ln (x) \cdot 2 + 1)}{2}}{2} + C$

解题步骤 12.4.8.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- 2 \ln (x) + 1)}{2}}{2} + C$

解题步骤 12.4.9

从 $- 2 \ln (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- (2 \ln (x)) + 1)}{2}}{2} + C$

解题步骤 12.4.10

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- (2 \ln (x)) - 1 (- 1))}{2}}{2} + C$

解题步骤 12.4.11

从 $- (2 \ln (x)) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- (2 \ln (x) - 1))}{2}}{2} + C$

解题步骤 12.4.12

将 $- (2 \ln (x) - 1)$ 重写为 $- 1 (2 \ln (x) - 1)$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- 1 (2 \ln (x) - 1))}{2}}{2} + C$

解题步骤 12.4.13

将负号移到分数的前面。

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - \frac{x^{2} (2 \ln (x) - 1)}{2}}{2} + C$

解题步骤 12.5

重新排序项。

$\frac{1}{2} (\ln^{2} (x) x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} (2 \ln (x) - 1)) + C$

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