微积分学示例

$y = t \ln^{2} (1 t)$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$y = t \ln^{2} (1 t)$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (t \ln^{2} (1 t))$

解题步骤 3

$y$ 对 $t$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

将 $t$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d t} [t \ln^{2} (t)]$

解题步骤 4.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = t$ 且 $g (t) = \ln^{2} (t)$ 。

$t \frac{d}{d t} [\ln^{2} (t)] + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{2}$ 且 $g (t) = \ln (t)$ 。

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解题步骤 4.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\ln (t)$ 。

$t (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [\ln (t)]) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$t (2 u \frac{d}{d t} [\ln (t)]) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.3.3

使用 $\ln (t)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$t (2 \ln (t) \frac{d}{d t} [\ln (t)]) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.4

$\ln (t)$ 对 $t$ 的导数为 $\frac{1}{t}$ 。

$t (2 \ln (t) \frac{1}{t}) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.5

使用幂法则求微分。

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解题步骤 4.5.1

组合 $\frac{1}{t}$ 和 $2$ 。

$t (\frac{2}{t} \ln (t)) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.5.2

化简项。

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解题步骤 4.5.2.1

组合 $\frac{2}{t}$ 和 $\ln (t)$ 。

$t \frac{2 \ln (t)}{t} + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.5.2.2

组合 $t$ 和 $\frac{2 \ln (t)}{t}$ 。

$\frac{t (2 \ln (t))}{t} + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.5.2.3

约去 $t$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.2.3.1

约去公因数。

$\frac{t (2 \ln (t))}{t} + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.5.2.3.2

用 $2 \ln (t)$ 除以 $1$ 。

$2 \ln (t) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \ln (t) + \ln^{2} (t) \cdot 1$

解题步骤 4.5.4

化简表达式。

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解题步骤 4.5.4.1

将 $\ln^{2} (t)$ 乘以 $1$ 。

$2 \ln (t) + \ln^{2} (t)$

解题步骤 4.5.4.2

重新排序项。

$\ln^{2} (t) + 2 \ln (t)$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \ln^{2} (t) + 2 \ln (t)$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d t}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d t} = \ln^{2} (t) + 2 \ln (t)$

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