微积分学示例

$\int \arcsin (\cos (x)) d x$

解题步骤 1

使 $u_{2} = \arcsin (\cos (x))$ 。然后使 $d u_{2} = - d x$ ，以便 $- d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{2} = \arcsin (\cos (x))$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\arcsin (\cos (x))$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\arcsin (\cos (x))]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arcsin (x)$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\cos (x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.2.2

$\arcsin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^{2} (x)}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^{2} (x)}} (- \sin (x))$

解题步骤 1.1.4

组合 $\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^{2} (x)}}$ 和 $\sin (x)$ 。

$- \frac{\sin (x)}{\sqrt{1 - \cos^{2} (x)}}$

解题步骤 1.1.5

化简。

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解题步骤 1.1.5.1

使用勾股恒等式。

$- \frac{\sin (x)}{\sqrt{\sin^{2} (x)}}$

解题步骤 1.1.5.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$- \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 1.1.5.3

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.5.3.1

约去公因数。

$- \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 1.1.5.3.2

重写表达式。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 1.1.5.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 1.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\int - u_{2} d u_{2}$

解题步骤 2

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int u_{2} d u_{2}$

解题步骤 3

根据幂法则， $u_{2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ 。

$- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

解题步骤 4

将 $- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ 重写为 $- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ 。

$- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

解题步骤 5

使用 $\arcsin (\cos (x))$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{1}{2} {\arcsin (\cos (x))}^{2} + C$

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