微积分学示例

$\int_{0}^{1} (e^{x} - e^{- 2 x}) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{0}^{1} e^{x} - e^{- 2 x} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{1} e^{x} d x + \int_{0}^{1} - e^{- 2 x} d x$

解题步骤 3

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$e^{x}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - e^{- 2 x} d x$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{- 2 x} d x$

解题步骤 5

使 $u = - 2 x$ 。然后使 $d u = - 2 d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

设 $u = - 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.1

对 $- 2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 5.1.2

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 \cdot 1$

解题步骤 5.1.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2$

解题步骤 5.2

将下限代入替换 $u = - 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = - 2 \cdot 0$

解题步骤 5.3

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 5.4

将上限代入替换 $u = - 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = - 2 \cdot 1$

解题步骤 5.5

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = - 2$

解题步骤 5.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

解题步骤 5.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

解题步骤 6

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

将负号移到分数的前面。

$e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 2} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

解题步骤 6.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 2} - \frac{e^{u}}{2} d u$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{x}]_{0}^{1} - - \int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u$

解题步骤 8

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{x}]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u$

解题步骤 8.2

将 $\int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u$ 乘以 $1$ 。

$e^{x}]_{0}^{1} + \int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u$

解题步骤 9

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$e^{x}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} e^{u} d u$

解题步骤 10

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$e^{x}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} e^{u}]_{0}^{- 2}$

解题步骤 11

代入并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

计算 $e^{x}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$(e^{1}) - e^{0} + \frac{1}{2} e^{u}]_{0}^{- 2}$

解题步骤 11.2

计算 $e^{u}$ 在 $- 2$ 处和在 $0$ 处的值。

$(e^{1}) - e^{0} + \frac{1}{2} ((e^{- 2}) - e^{0})$

解题步骤 11.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.3.1

化简。

$e - e^{0} + \frac{1}{2} ((e^{- 2}) - e^{0})$

解题步骤 11.3.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$e - 1 \cdot 1 + \frac{1}{2} ((e^{- 2}) - e^{0})$

解题步骤 11.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e - 1 + \frac{1}{2} ((e^{- 2}) - e^{0})$

解题步骤 11.3.4

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$e - 1 + \frac{1}{2} (e^{- 2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 11.3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e - 1 + \frac{1}{2} (e^{- 2} - 1)$

解题步骤 12

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1.1

运用分配律。

$e - 1 + \frac{1}{2} e^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

解题步骤 12.1.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{- 2}$ 。

$e - 1 + \frac{e^{- 2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

解题步骤 12.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$e - 1 + \frac{e^{- 2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

解题步骤 12.1.4

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $e^{- 2}$ 移动到分母。

$e - 1 + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 1}{2}$

解题步骤 12.1.4.2

将负号移到分数的前面。

$e - 1 + \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{2}$

解题步骤 12.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$e + \frac{1}{2 e^{2}} - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 12.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$e + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 12.4

在公分母上合并分子。

$e + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

解题步骤 12.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$e + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 2 - 1}{2}$

解题步骤 12.5.2

从 $- 2$ 中减去 $1$ 。

$e + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 3}{2}$

解题步骤 12.6

将负号移到分数的前面。

$e + \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{3}{2}$

解题步骤 13

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$e + \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{3}{2}$

小数形式：

$1.28594947 \dots$

解题步骤 14

微积分学 示例

微积分学示例