微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1 + \cos^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} d θ$

解题步骤 1

Distribute denominator.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\cos^{2} (θ)} + \frac{\cos^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} d θ$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ 转换成 $\sec^{2} (θ)$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} d θ$

解题步骤 2.2

约去 $\cos^{2} (θ)$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

约去公因数。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} d θ$

解题步骤 2.2.2

重写表达式。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) + 1 d θ$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) d θ + \int_{0}^{\frac{π}{4}} d θ$

解题步骤 4

因为 $\tan (θ)$ 的导数为 $\sec^{2} (θ)$ ，所以 $\sec^{2} (θ)$ 的积分为 $\tan (θ)$ 。

$\tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{4}} d θ$

解题步骤 5

应用常数不变法则。

$\tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{4}} + θ]_{0}^{\frac{π}{4}}$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

组合 $\tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{4}}$ 和 $θ]_{0}^{\frac{π}{4}}$ 。

$\tan (θ) + θ]_{0}^{\frac{π}{4}}$

解题步骤 6.2

代入并化简。

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解题步骤 6.2.1

计算 $\tan (θ) + θ$ 在 $\frac{π}{4}$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\tan (\frac{π}{4}) + \frac{π}{4}) - (\tan (0) + 0)$

解题步骤 6.2.2

将 $\tan (0)$ 和 $0$ 相加。

$\tan (\frac{π}{4}) + \frac{π}{4} - \tan (0)$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$1 + \frac{π}{4} - \tan (0)$

解题步骤 6.3.2

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$1 + \frac{π}{4} - 0$

解题步骤 6.3.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$1 + \frac{π}{4} + 0$

解题步骤 6.3.4

将 $1 + \frac{π}{4}$ 和 $0$ 相加。

$1 + \frac{π}{4}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$1 + \frac{π}{4}$

小数形式：

$1.78539816 \dots$

微积分学 示例

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