微积分学示例

$y = \sec (x)$

解题步骤 1

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$\sec (x) \tan (x)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sec (x)$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

$f'' (x) = \sec (x) \frac{d}{d x} (\tan (x)) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

解题步骤 2.2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$f'' (x) = \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

解题步骤 2.3

通过指数相加将 $\sec (x)$ 乘以 $\sec^{2} (x)$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $\sec (x)$ 乘以 $\sec^{2} (x)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

解题步骤 2.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = {\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

解题步骤 2.3.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

解题步骤 2.4

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$f'' (x) = \sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))$

解题步骤 2.5

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) \sec (x)$

解题步骤 2.6

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) \sec (x)$

解题步骤 2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)$

解题步骤 2.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)$

解题步骤 2.9

重新排序项。

$f'' (x) = \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\sec (x) \tan (x) = 0$

解题步骤 4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\sec (x) = 0$

$\tan (x) = 0$

解题步骤 5

将 $\sec (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\sec (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\sec (x) = 0$

解题步骤 5.2

正割函数的值域为 $y \leq - 1$ 和 $y \geq 1$ 。因为 $0$ 不在该值域内，所以无解。

无解

解题步骤 6

将 $\tan (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $\tan (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\tan (x) = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的 $\tan (x) = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (0)$

解题步骤 6.2.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.2.1

$\arctan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 6.2.3

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + 0$

解题步骤 6.2.4

将 $π$ 和 $0$ 相加。

$x = π$

解题步骤 6.2.5

方程 $x = 0$ 的解。

$x = 0, π$

解题步骤 7

最终解为使 $\sec (x) \tan (x) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, π$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\tan^{2} (0) \sec (0) + \sec^{3} (0)$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$0^{2} \sec (0) + \sec^{3} (0)$

解题步骤 9.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 \sec (0) + \sec^{3} (0)$

解题步骤 9.1.3

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$0 \cdot 1 + \sec^{3} (0)$

解题步骤 9.1.4

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$0 + \sec^{3} (0)$

解题步骤 9.1.5

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$0 + 1^{3}$

解题步骤 9.1.6

一的任意次幂都为一。

$0 + 1$

解题步骤 9.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 0$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = \sec (0)$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (0) = 1$

解题步骤 11.2.2

最终答案为 $1$ 。

$y = 1$

解题步骤 12

计算在 $x = π$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\tan^{2} (π) \sec (π) + \sec^{3} (π)$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

${(- \tan (0))}^{2} \sec (π) + \sec^{3} (π)$

解题步骤 13.1.2

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

${(- 0)}^{2} \sec (π) + \sec^{3} (π)$

解题步骤 13.1.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0^{2} \sec (π) + \sec^{3} (π)$

解题步骤 13.1.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 \sec (π) + \sec^{3} (π)$

解题步骤 13.1.5

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

$0 (- \sec (0)) + \sec^{3} (π)$

解题步骤 13.1.6

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$0 (- 1 \cdot 1) + \sec^{3} (π)$

解题步骤 13.1.7

乘以 $0 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 13.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 \cdot - 1 + \sec^{3} (π)$

解题步骤 13.1.7.2

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$0 + \sec^{3} (π)$

解题步骤 13.1.8

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

$0 + {(- \sec (0))}^{3}$

解题步骤 13.1.9

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$0 + {(- 1 \cdot 1)}^{3}$

解题步骤 13.1.10

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 + {(- 1)}^{3}$

解题步骤 13.1.11

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$0 - 1$

解题步骤 13.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = π$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = π$ 是一个极大值

解题步骤 15

求 $x = π$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $π$ 替换变量 $x$ 。

$f (π) = \sec (π)$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

$f (π) = - \sec (0)$

解题步骤 15.2.2

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (π) = - 1 \cdot 1$

解题步骤 15.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (π) = - 1$

解题步骤 15.2.4

最终答案为 $- 1$ 。

$y = - 1$

解题步骤 16

这些是 $f (x) = \sec (x)$ 的局部极值。

$(0, 1)$ 是一个局部最小值

$(π, - 1)$ 是一个局部最大值

解题步骤 17

微积分学 示例

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