微积分学示例

$y = a x^{2} + b x + c$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $a x^{2} + b x + c$ 对 $a$ 的导数是 $\frac{d}{d a} [a x^{2}] + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$ 。

$\frac{d}{d a} [a x^{2}] + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d a} [a x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $x^{2}$ 对于 $a$ 是常数，所以 $a x^{2}$ 对 $a$ 的导数是 $x^{2} \frac{d}{d a} [a]$ 。

$x^{2} \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ 等于 $n a^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$

解题步骤 1.2.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$

解题步骤 1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.3.1

因为 $b x$ 对于 $a$ 是常数，所以 $b x$ 对 $a$ 的导数为 $0$ 。

$x^{2} + 0 + \frac{d}{d a} [c]$

解题步骤 1.3.2

因为 $c$ 对于 $a$ 是常数，所以 $c$ 对 $a$ 的导数为 $0$ 。

$x^{2} + 0 + 0$

解题步骤 1.4

合并项。

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解题步骤 1.4.1

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} + 0$

解题步骤 1.4.2

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$x^{2}$

解题步骤 2

因为 $x^{2}$ 对于 $a$ 是常数，所以 $x^{2}$ 对 $a$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (a) = 0$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$x^{2} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $a x^{2} + b x + c$ 对 $a$ 的导数是 $\frac{d}{d a} [a x^{2}] + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$ 。

$\frac{d}{d a} [a x^{2}] + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d a} [a x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $x^{2}$ 对于 $a$ 是常数，所以 $a x^{2}$ 对 $a$ 的导数是 $x^{2} \frac{d}{d a} [a]$ 。

$x^{2} \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ 等于 $n a^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$

解题步骤 4.1.2.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$

解题步骤 4.1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $b x$ 对于 $a$ 是常数，所以 $b x$ 对 $a$ 的导数为 $0$ 。

$x^{2} + 0 + \frac{d}{d a} [c]$

解题步骤 4.1.3.2

因为 $c$ 对于 $a$ 是常数，所以 $c$ 对 $a$ 的导数为 $0$ 。

$x^{2} + 0 + 0$

解题步骤 4.1.4

合并项。

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解题步骤 4.1.4.1

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} + 0$

解题步骤 4.1.4.2

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f' (a) = x^{2}$

解题步骤 4.2

$f (a)$ 对 $a$ 的一阶导数是 $x^{2}$ 。

$x^{2}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 5.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 5.3

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 5.3.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 5.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 5.3.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 6

要计算的驻点。

$a = 0$

解题步骤 7

计算在 $a = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$0$

解题步骤 8

由于一阶导数判别法失败，因此不存在局部极值。

不存在局部极值

解题步骤 9

微积分学 示例

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