微积分学示例

$y = \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x) + \cos (x)}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \sin (x) - \cos (x)$ 且 $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ 。

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)] - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 2

根据加法法则， $\sin (x) - \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - - \sin (x)) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6

使用求加法法则求导。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + 1 \sin (x)) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.3

根据加法法则， $\sin (x) + \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) - (\sin (x) - \cos (x)) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 7

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) - (\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 8

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) - (\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

运用分配律。

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2

化简分子。

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解题步骤 9.2.1

化简每一项。

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解题步骤 9.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))$ 。

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解题步骤 9.2.1.1.1

运用分配律。

$\frac{\sin (x) (\cos (x) + \sin (x)) + \cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.1.2

运用分配律。

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.1.3

运用分配律。

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 9.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 9.2.1.2.1.1

乘以 $\sin (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 9.2.1.2.1.1.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.2.1.1.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.2.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sin (x) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.2.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.2.1.2

乘以 $\cos (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 9.2.1.2.1.2.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.2.1.2.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.2.1.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.2.1.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.2.2

重新排序 $\sin (x) \cos (x)$ 的因式。

$\frac{\cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.2.3

将 $\cos (x) \sin (x)$ 和 $\cos (x) \sin (x)$ 相加。

$\frac{2 \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.3

使用勾股恒等式。

$\frac{2 \cos (x) \sin (x) + 1 + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.4

化简每一项。

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解题步骤 9.2.1.4.1

将 $2 \cos (x)$ 和 $\sin (x)$ 重新排序。

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x)) + 1 + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.4.2

将 $\sin (x)$ 和 $2$ 重新排序。

$\frac{2 \cdot \sin (x) \cos (x) + 1 + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.4.3

使用正弦倍角公式。

$\frac{\sin (2 x) + 1 + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.5

乘以 $- - \cos (x)$ 。

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解题步骤 9.2.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\sin (2 x) + 1 + (- \sin (x) + 1 \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.5.2

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sin (2 x) + 1 + (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.6

使用 FOIL 方法展开 $(- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ 。

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解题步骤 9.2.1.6.1

运用分配律。

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \cos (x) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.6.2

运用分配律。

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.6.3

运用分配律。

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 9.2.1.7.1

化简每一项。

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解题步骤 9.2.1.7.1.1

乘以 $- \sin (x) (- \sin (x))$ 。

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解题步骤 9.2.1.7.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + 1 \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.7.1.1.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.7.1.1.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.7.1.1.4

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.7.1.1.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.7.1.1.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.7.1.2

乘以 $\cos (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 9.2.1.7.1.2.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.7.1.2.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.7.1.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.7.1.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.7.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.7.2

重新排序 $- \sin (x) \cos (x)$ 的因式。

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.7.3

从 $- \cos (x) \sin (x)$ 中减去 $\cos (x) \sin (x)$ 。

$\frac{\sin (2 x) + 1 - 2 \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.8

使用勾股恒等式。

$\frac{\sin (2 x) + 1 - 2 \cos (x) \sin (x) + 1}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sin (2 x) - 2 \cos (x) \sin (x) + 2}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.3

重新排序项。

$\frac{- 2 \cos (x) \sin (x) + 2 + \sin (2 x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.4

从 $- 2 \cos (x) \sin (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x)) + 2 + \sin (2 x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.5

将 $2$ 重写为 $- 1 (- 2)$ 。

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x)) - 1 (- 2) + \sin (2 x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.6

从 $- (2 \cos (x) \sin (x)) - 1 (- 2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x) - 2) + \sin (2 x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.7

从 $\sin (2 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x) - 2) - 1 (- \sin (2 x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.8

从 $- (2 \cos (x) \sin (x) - 2) - 1 (- \sin (2 x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x) - 2 - \sin (2 x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.9

将 $- (2 \cos (x) \sin (x) - 2 - \sin (2 x))$ 重写为 $- 1 (2 \cos (x) \sin (x) - 2 - \sin (2 x))$ 。

$\frac{- 1 (2 \cos (x) \sin (x) - 2 - \sin (2 x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.10

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 \cos (x) \sin (x) - 2 - \sin (2 x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

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