微积分学示例

$lim_{x \to 2} \frac{{(3 x - 4)}^{40}}{{(x^{2} - 2)}^{36}}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 2} {(3 x - 4)}^{40}}{lim_{x \to 2} {(x^{2} - 2)}^{36}}$

解题步骤 2

使用极限幂法则把 ${(3 x - 4)}^{40}$ 的指数 $40$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 2} 3 x - 4)}^{40}}{lim_{x \to 2} {(x^{2} - 2)}^{36}}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{{(lim_{x \to 2} 3 x - lim_{x \to 2} 4)}^{40}}{lim_{x \to 2} {(x^{2} - 2)}^{36}}$

解题步骤 4

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(3 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 4)}^{40}}{lim_{x \to 2} {(x^{2} - 2)}^{36}}$

解题步骤 5

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4)}^{40}}{lim_{x \to 2} {(x^{2} - 2)}^{36}}$

解题步骤 6

使用极限幂法则把 ${(x^{2} - 2)}^{36}$ 的指数 $36$ 移到极限外。

$\frac{{(3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4)}^{40}}{{(lim_{x \to 2} x^{2} - 2)}^{36}}$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{{(3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4)}^{40}}{{(lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 2)}^{36}}$

解题步骤 8

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4)}^{40}}{{({(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 2)}^{36}}$

解题步骤 9

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4)}^{40}}{{({(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 2)}^{36}}$

解题步骤 10

将 $2$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 10.1

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{{(3 \cdot 2 - 1 \cdot 4)}^{40}}{{({(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 2)}^{36}}$

解题步骤 10.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{{(3 \cdot 2 - 1 \cdot 4)}^{40}}{{(2^{2} - 1 \cdot 2)}^{36}}$

解题步骤 11

化简答案。

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解题步骤 11.1

化简分子。

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解题步骤 11.1.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{(6 - 1 \cdot 4)}^{40}}{{(2^{2} - 1 \cdot 2)}^{36}}$

解题步骤 11.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{{(6 - 4)}^{40}}{{(2^{2} - 1 \cdot 2)}^{36}}$

解题步骤 11.1.3

从 $6$ 中减去 $4$ 。

$\frac{2^{40}}{{(2^{2} - 1 \cdot 2)}^{36}}$

解题步骤 11.1.4

对 $2$ 进行 $40$ 次方运算。

$\frac{1099511627776}{{(2^{2} - 1 \cdot 2)}^{36}}$

解题步骤 11.2

化简分母。

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解题步骤 11.2.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1099511627776}{{(4 - 1 \cdot 2)}^{36}}$

解题步骤 11.2.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1099511627776}{{(4 - 2)}^{36}}$

解题步骤 11.2.3

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1099511627776}{2^{36}}$

解题步骤 11.2.4

对 $2$ 进行 $36$ 次方运算。

$\frac{1099511627776}{68719476736}$

解题步骤 11.3

用 $1099511627776$ 除以 $68719476736$ 。

$16$

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