微积分学示例

$lim_{x \to 0} x^{2} \cos (\frac{9}{x})$

解题步骤 1

计算极限值。

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解题步骤 1.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (\frac{9}{x})$

解题步骤 1.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

${(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (\frac{9}{x})$

解题步骤 2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$0^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (\frac{9}{x})$

解题步骤 3

考虑左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} \cos (\frac{9}{x})$

解题步骤 4

制作一个表格展示函数 $\cos (\frac{9}{x})$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \cos (\frac{9}{x}) \\ - 0.1 & 0 \\ - 0.01 & - 1 \\ - 0.001 & 1 \\ - 0.0001 & 1 \end{array}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $1$ 。因此， $\cos (\frac{9}{x})$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的极限为 $1$ 。

$1$

解题步骤 6

考虑右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \cos (\frac{9}{x})$

解题步骤 7

制作一个表格展示函数 $\cos (\frac{9}{x})$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \cos (\frac{9}{x}) \\ 0.1 & 0 \\ 0.01 & - 1 \\ 0.001 & 1 \\ 0.0001 & 1 \end{array}$

解题步骤 8

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $1$ 。因此， $\cos (\frac{9}{x})$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的极限为 $1$ 。

$0^{2} \cdot 1$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 \cdot 1$

解题步骤 9.2

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$0$

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