微积分学示例

$y = \frac{x}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

组合 $\frac{x}{3}$ 和 ${(2 x + 1)}^{3}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x {(2 x + 1)}^{3}}{3}]$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x {(2 x + 1)}^{3}}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x {(2 x + 1)}^{3}]$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x {(2 x + 1)}^{3}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(2 x + 1)}^{3}$ 。

$\frac{1}{3} (x \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}] + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = 2 x + 1$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x + 1$ 。

$\frac{1}{3} (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{3} (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

使用 $2 x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} (2 + 0)) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.6

化简表达式。

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解题步骤 4.6.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} \cdot 2) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.6.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{3} (x (6 {(2 x + 1)}^{2}) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3} (x (6 {(2 x + 1)}^{2}) + {(2 x + 1)}^{3} \cdot 1)$

解题步骤 4.8

将 ${(2 x + 1)}^{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} (x (6 {(2 x + 1)}^{2}) + {(2 x + 1)}^{3})$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{1}{3} (x (6 {(2 x + 1)}^{2})) + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

解题步骤 5.2

组合 $x$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{x}{3} (6 {(2 x + 1)}^{2}) + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

解题步骤 5.3

组合 $6$ 和 $\frac{x}{3}$ 。

$\frac{6 x}{3} {(2 x + 1)}^{2} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

解题步骤 5.4

组合 $\frac{6 x}{3}$ 和 ${(2 x + 1)}^{2}$ 。

$\frac{6 x {(2 x + 1)}^{2}}{3} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

解题步骤 5.5

约去 $6$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.1

从 $6 x {(2 x + 1)}^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (2 x {(2 x + 1)}^{2})}{3} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

解题步骤 5.5.2

约去公因数。

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解题步骤 5.5.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (2 x {(2 x + 1)}^{2})}{3 (1)} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

解题步骤 5.5.2.2

约去公因数。

$\frac{3 (2 x {(2 x + 1)}^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

解题步骤 5.5.2.3

重写表达式。

$\frac{2 x {(2 x + 1)}^{2}}{1} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

解题步骤 5.5.2.4

用 $2 x {(2 x + 1)}^{2}$ 除以 $1$ 。

$2 x {(2 x + 1)}^{2} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

解题步骤 5.6

从 $2 x {(2 x + 1)}^{2} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$ 中分解出因数 ${(2 x + 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.6.1

从 $2 x {(2 x + 1)}^{2}$ 中分解出因数 ${(2 x + 1)}^{2}$ 。

${(2 x + 1)}^{2} (2 x) + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

解题步骤 5.6.2

从 $\frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$ 中分解出因数 ${(2 x + 1)}^{2}$ 。

${(2 x + 1)}^{2} (2 x) + {(2 x + 1)}^{2} (\frac{1}{3} (2 x + 1))$

解题步骤 5.6.3

从 ${(2 x + 1)}^{2} (2 x) + {(2 x + 1)}^{2} (\frac{1}{3} (2 x + 1))$ 中分解出因数 ${(2 x + 1)}^{2}$ 。

${(2 x + 1)}^{2} (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

解题步骤 5.7

将 ${(2 x + 1)}^{2}$ 重写为 $(2 x + 1) (2 x + 1)$ 。

$(2 x + 1) (2 x + 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

解题步骤 5.8

使用 FOIL 方法展开 $(2 x + 1) (2 x + 1)$ 。

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解题步骤 5.8.1

运用分配律。

$(2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

解题步骤 5.8.2

运用分配律。

$(2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1)) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

解题步骤 5.8.3

运用分配律。

$(2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

解题步骤 5.9

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.9.1

化简每一项。

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解题步骤 5.9.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$(2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

解题步骤 5.9.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.9.1.2.1

移动 $x$ 。

$(2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

解题步骤 5.9.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

解题步骤 5.9.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$(4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

解题步骤 5.9.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$(4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

解题步骤 5.9.1.5

将 $2 x$ 乘以 $1$ 。

$(4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

解题步骤 5.9.1.6

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$(4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

解题步骤 5.9.2

将 $2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

解题步骤 5.10

化简每一项。

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解题步骤 5.10.1

运用分配律。

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x) + \frac{1}{3} \cdot 1)$

解题步骤 5.10.2

乘以 $\frac{1}{3} (2 x)$ 。

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解题步骤 5.10.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x + \frac{2}{3} x + \frac{1}{3} \cdot 1)$

解题步骤 5.10.2.2

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x$ 。

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1)$

解题步骤 5.10.3

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3})$

解题步骤 5.11

要将 $2 x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3})$

解题步骤 5.12

组合 $2 x$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (\frac{2 x \cdot 3}{3} + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3})$

解题步骤 5.13

在公分母上合并分子。

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (\frac{2 x \cdot 3 + 2 x}{3} + \frac{1}{3})$

解题步骤 5.14

在公分母上合并分子。

$(4 x^{2} + 4 x + 1) \frac{2 x \cdot 3 + 2 x + 1}{3}$

解题步骤 5.15

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$(4 x^{2} + 4 x + 1) \frac{6 x + 2 x + 1}{3}$

解题步骤 5.16

将 $6 x$ 和 $2 x$ 相加。

$(4 x^{2} + 4 x + 1) \frac{8 x + 1}{3}$

解题步骤 5.17

运用分配律。

$4 x^{2} \frac{8 x + 1}{3} + 4 x \frac{8 x + 1}{3} + 1 \frac{8 x + 1}{3}$

解题步骤 5.18

化简。

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解题步骤 5.18.1

乘以 $4 x^{2} \frac{8 x + 1}{3}$ 。

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解题步骤 5.18.1.1

组合 $4$ 和 $\frac{8 x + 1}{3}$ 。

$x^{2} \frac{4 (8 x + 1)}{3} + 4 x \frac{8 x + 1}{3} + 1 \frac{8 x + 1}{3}$

解题步骤 5.18.1.2

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{4 (8 x + 1)}{3}$ 。

$\frac{x^{2} (4 (8 x + 1))}{3} + 4 x \frac{8 x + 1}{3} + 1 \frac{8 x + 1}{3}$

解题步骤 5.18.2

乘以 $4 x \frac{8 x + 1}{3}$ 。

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解题步骤 5.18.2.1

组合 $4$ 和 $\frac{8 x + 1}{3}$ 。

$\frac{x^{2} (4 (8 x + 1))}{3} + x \frac{4 (8 x + 1)}{3} + 1 \frac{8 x + 1}{3}$

解题步骤 5.18.2.2

组合 $x$ 和 $\frac{4 (8 x + 1)}{3}$ 。

$\frac{x^{2} (4 (8 x + 1))}{3} + \frac{x (4 (8 x + 1))}{3} + 1 \frac{8 x + 1}{3}$

解题步骤 5.18.3

将 $\frac{8 x + 1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} (4 (8 x + 1))}{3} + \frac{x (4 (8 x + 1))}{3} + \frac{8 x + 1}{3}$

解题步骤 5.19

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{2} (4 (8 x + 1)) + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

解题步骤 5.20

化简每一项。

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解题步骤 5.20.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{4 x^{2} (8 x + 1) + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

解题步骤 5.20.2

运用分配律。

$\frac{4 x^{2} (8 x) + 4 x^{2} \cdot 1 + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

解题步骤 5.20.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{4 \cdot 8 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot 1 + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

解题步骤 5.20.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 \cdot 8 x^{2} x + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

解题步骤 5.20.5

化简每一项。

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解题步骤 5.20.5.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.20.5.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{4 \cdot 8 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

解题步骤 5.20.5.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.20.5.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 \cdot 8 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

解题步骤 5.20.5.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 \cdot 8 x^{1 + 2} + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

解题步骤 5.20.5.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{4 \cdot 8 x^{3} + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

解题步骤 5.20.5.2

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

解题步骤 5.20.6

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x (8 x + 1) + 8 x + 1}{3}$

解题步骤 5.20.7

运用分配律。

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x (8 x) + 4 x \cdot 1 + 8 x + 1}{3}$

解题步骤 5.20.8

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 \cdot 8 x \cdot x + 4 x \cdot 1 + 8 x + 1}{3}$

解题步骤 5.20.9

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 \cdot 8 x \cdot x + 4 x + 8 x + 1}{3}$

解题步骤 5.20.10

化简每一项。

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解题步骤 5.20.10.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.20.10.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 \cdot 8 (x \cdot x) + 4 x + 8 x + 1}{3}$

解题步骤 5.20.10.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 \cdot 8 x^{2} + 4 x + 8 x + 1}{3}$

解题步骤 5.20.10.2

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 32 x^{2} + 4 x + 8 x + 1}{3}$

解题步骤 5.21

将 $4 x^{2}$ 和 $32 x^{2}$ 相加。

$\frac{32 x^{3} + 36 x^{2} + 4 x + 8 x + 1}{3}$

解题步骤 5.22

将 $4 x$ 和 $8 x$ 相加。

$\frac{32 x^{3} + 36 x^{2} + 12 x + 1}{3}$

微积分学 示例

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