微积分学示例

$x = \frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4 y^{2}}$ , $1 \leq y \leq 3$

解题步骤 1

检验 $f (y) = \frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4 y^{2}}$ 是否连续。

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解题步骤 1.1

要求函数在 $[1, 3]$ 上是否连续，请求出 $f (y) = \frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4 y^{2}}$ 的定义域。

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解题步骤 1.1.1

将 $\frac{1}{4 y^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$4 y^{2} = 0$

解题步骤 1.1.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

将 $4 y^{2} = 0$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 1.1.2.1.1

将 $4 y^{2} = 0$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 1.1.2.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.1.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 1.1.2.1.2.1.2

用 $y^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} = \frac{0}{4}$

解题步骤 1.1.2.1.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.2.1.3.1

用 $0$ 除以 $4$ 。

$y^{2} = 0$

解题步骤 1.1.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 1.1.2.3

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 1.1.2.3.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$y = \pm 0$

解题步骤 1.1.2.3.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 1.1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $y$ 。

区间计数法：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合符号：

${y | y \neq 0}$

区间计数法：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合符号：

${y | y \neq 0}$

解题步骤 1.2

$f (y)$ 在 $[1, 3]$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 2

检验 $f (y) = \frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4 y^{2}}$ 是否可微。

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解题步骤 2.1

求导数。

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解题步骤 2.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1.1

根据加法法则， $\frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4 y^{2}}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{8}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{8}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

解题步骤 2.1.1.2

计算 $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{8}]$ 。

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解题步骤 2.1.1.2.1

因为 $\frac{1}{8}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{y^{4}}{8}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{1}{8} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ 。

$\frac{1}{8} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

解题步骤 2.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{1}{8} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

解题步骤 2.1.1.2.3

组合 $4$ 和 $\frac{1}{8}$ 。

$\frac{4}{8} y^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

解题步骤 2.1.1.2.4

组合 $\frac{4}{8}$ 和 $y^{3}$ 。

$\frac{4 y^{3}}{8} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

解题步骤 2.1.1.2.5

约去 $4$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.2.5.1

从 $4 y^{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (y^{3})}{8} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

解题步骤 2.1.1.2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.1.2.5.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 y^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

解题步骤 2.1.1.2.5.2.2

约去公因数。

$\frac{4 y^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

解题步骤 2.1.1.2.5.2.3

重写表达式。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

解题步骤 2.1.1.3

计算 $\frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$ 。

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解题步骤 2.1.1.3.1

因为 $\frac{1}{4}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{1}{4 y^{2}}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{1}{4} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ 。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$

解题步骤 2.1.1.3.2

将 $\frac{1}{y^{2}}$ 重写为 ${(y^{2})}^{- 1}$ 。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}]$

解题步骤 2.1.1.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{- 1}$ 且 $g (y) = y^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.1.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y^{2}$ 。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}])$

解题步骤 2.1.1.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

解题步骤 2.1.1.3.3.3

使用 $y^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

解题步骤 2.1.1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y))$

解题步骤 2.1.1.3.5

将 ${(y^{2})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.1.3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- y^{2 \cdot - 2} (2 y))$

解题步骤 2.1.1.3.5.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- y^{- 4} (2 y))$

解题步骤 2.1.1.3.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 y^{- 4} y)$

解题步骤 2.1.1.3.7

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 (y^{1} y^{- 4}))$

解题步骤 2.1.1.3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 y^{1 - 4})$

解题步骤 2.1.1.3.9

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 y^{- 3})$

解题步骤 2.1.1.3.10

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 2}{4} y^{- 3}$

解题步骤 2.1.1.3.11

组合 $\frac{- 2}{4}$ 和 $y^{- 3}$ 。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 2 y^{- 3}}{4}$

解题步骤 2.1.1.3.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $y^{- 3}$ 移动到分母。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 2}{4 y^{3}}$

解题步骤 2.1.1.3.13

约去 $- 2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.3.13.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{2 (- 1)}{4 y^{3}}$

解题步骤 2.1.1.3.13.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.1.3.13.2.1

从 $4 y^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{2 (- 1)}{2 (2 y^{3})}$

解题步骤 2.1.1.3.13.2.2

约去公因数。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (2 y^{3})}$

解题步骤 2.1.1.3.13.2.3

重写表达式。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 1}{2 y^{3}}$

解题步骤 2.1.1.3.14

将负号移到分数的前面。

$f' (y) = \frac{y^{3}}{2} - \frac{1}{2 y^{3}}$

解题步骤 2.1.2

$f (y)$ 对 $y$ 的一阶导数是 $\frac{y^{3}}{2} - \frac{1}{2 y^{3}}$ 。

$\frac{y^{3}}{2} - \frac{1}{2 y^{3}}$

解题步骤 2.2

判断导数在 $[1, 3]$ 上是否连续。

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解题步骤 2.2.1

要求函数在 $[1, 3]$ 上是否连续，请求出 $f' (y) = \frac{y^{3}}{2} - \frac{1}{2 y^{3}}$ 的定义域。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $\frac{1}{2 y^{3}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$2 y^{3} = 0$

解题步骤 2.2.1.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.2.1.2.1

将 $2 y^{3} = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.2.1.2.1.1

将 $2 y^{3} = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y^{3}}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.2.1.2.1.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1.2.1.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.2.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y^{3}}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.2.1.2.1.2.1.2

用 $y^{3}$ 除以 $1$ 。

$y^{3} = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.2.1.2.1.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.1.2.1.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$y^{3} = 0$

解题步骤 2.2.1.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[3]{0}$

解题步骤 2.2.1.2.3

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

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解题步骤 2.2.1.2.3.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$y = \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 2.2.1.2.3.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$y = 0$

解题步骤 2.2.1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $y$ 。

区间计数法：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合符号：

${y | y \neq 0}$

区间计数法：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合符号：

${y | y \neq 0}$

解题步骤 2.2.2

$f' (y)$ 在 $[1, 3]$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 2.3

该函数在 $[1, 3]$ 上可微，因为其导数在 $[1, 3]$ 上连续。

该函数可微。

解题步骤 3

为了确保弧长成立，函数自身及其导数在闭区间 $[1, 3]$ 上都必须为连续的。

函数及其导数在闭区间 $[1, 3]$ 上连续。

解题步骤 4

求 $f (y) = \frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4 y^{2}}$ 的导数。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $\frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4 y^{2}}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{8}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{8}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{8}]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $\frac{1}{8}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{y^{4}}{8}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{1}{8} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ 。

$\frac{1}{8} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{1}{8} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

解题步骤 4.2.3

组合 $4$ 和 $\frac{1}{8}$ 。

$\frac{4}{8} y^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

解题步骤 4.2.4

组合 $\frac{4}{8}$ 和 $y^{3}$ 。

$\frac{4 y^{3}}{8} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

解题步骤 4.2.5

约去 $4$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.5.1

从 $4 y^{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (y^{3})}{8} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

解题步骤 4.2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.5.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 y^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

解题步骤 4.2.5.2.2

约去公因数。

$\frac{4 y^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

解题步骤 4.2.5.2.3

重写表达式。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

解题步骤 4.3

计算 $\frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$ 。

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解题步骤 4.3.1

因为 $\frac{1}{4}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{1}{4 y^{2}}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{1}{4} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ 。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$

解题步骤 4.3.2

将 $\frac{1}{y^{2}}$ 重写为 ${(y^{2})}^{- 1}$ 。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}]$

解题步骤 4.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{- 1}$ 且 $g (y) = y^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y^{2}$ 。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}])$

解题步骤 4.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

解题步骤 4.3.3.3

使用 $y^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

解题步骤 4.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y))$

解题步骤 4.3.5

将 ${(y^{2})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- y^{2 \cdot - 2} (2 y))$

解题步骤 4.3.5.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- y^{- 4} (2 y))$

解题步骤 4.3.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 y^{- 4} y)$

解题步骤 4.3.7

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 (y^{1} y^{- 4}))$

解题步骤 4.3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 y^{1 - 4})$

解题步骤 4.3.9

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 y^{- 3})$

解题步骤 4.3.10

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 2}{4} y^{- 3}$

解题步骤 4.3.11

组合 $\frac{- 2}{4}$ 和 $y^{- 3}$ 。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 2 y^{- 3}}{4}$

解题步骤 4.3.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $y^{- 3}$ 移动到分母。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 2}{4 y^{3}}$

解题步骤 4.3.13

约去 $- 2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.13.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{2 (- 1)}{4 y^{3}}$

解题步骤 4.3.13.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.13.2.1

从 $4 y^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{2 (- 1)}{2 (2 y^{3})}$

解题步骤 4.3.13.2.2

约去公因数。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (2 y^{3})}$

解题步骤 4.3.13.2.3

重写表达式。

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 1}{2 y^{3}}$

解题步骤 4.3.14

将负号移到分数的前面。

$\frac{y^{3}}{2} - \frac{1}{2 y^{3}}$

解题步骤 5

要求函数的弧长，请使用公式 $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (y))}^{2}} d y$ 。

$\int_{1}^{3} \sqrt{1 + {(\frac{y^{3}}{2} - \frac{1}{2 y^{3}})}^{2}} d y$

解题步骤 6

计算积分。

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解题步骤 6.1

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{(y^{2} + 1) (y^{4} - y^{2} + 1)}{y^{3}} d y$

解题步骤 6.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 6.2.1

通过将 $y^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} (y^{2} + 1) (y^{4} - y^{2} + 1) {(y^{3})}^{- 1} d y$

解题步骤 6.2.2

将 ${(y^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} (y^{2} + 1) (y^{4} - y^{2} + 1) y^{3 \cdot - 1} d y$

解题步骤 6.2.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} (y^{2} + 1) (y^{4} - y^{2} + 1) y^{- 3} d y$

解题步骤 6.3

展开 $(y^{2} + 1) (y^{4} - y^{2} + 1) y^{- 3}$ 。

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解题步骤 6.3.1

运用分配律。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} (y^{2} (y^{4} - y^{2} + 1) + 1 (y^{4} - y^{2} + 1)) y^{- 3} d y$

解题步骤 6.3.2

运用分配律。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} (y^{2} (y^{4} - y^{2}) + y^{2} \cdot 1 + 1 (y^{4} - y^{2} + 1)) y^{- 3} d y$

解题步骤 6.3.3

运用分配律。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} (y^{2} y^{4} + y^{2} (- y^{2}) + y^{2} \cdot 1 + 1 (y^{4} - y^{2} + 1)) y^{- 3} d y$

解题步骤 6.3.4

运用分配律。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} (y^{2} y^{4} + y^{2} (- y^{2}) + y^{2} \cdot 1 + 1 (y^{4} - y^{2}) + 1 \cdot 1) y^{- 3} d y$

解题步骤 6.3.5

运用分配律。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} (y^{2} y^{4} + y^{2} (- y^{2}) + y^{2} \cdot 1 + 1 y^{4} + 1 (- y^{2}) + 1 \cdot 1) y^{- 3} d y$

解题步骤 6.3.6

运用分配律。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} (y^{2} y^{4} + y^{2} (- y^{2}) + y^{2} \cdot 1) y^{- 3} + (1 y^{4} + 1 (- y^{2}) + 1 \cdot 1) y^{- 3} d y$

解题步骤 6.3.7

运用分配律。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} (y^{2} y^{4} + y^{2} (- y^{2})) y^{- 3} + y^{2} \cdot 1 y^{- 3} + (1 y^{4} + 1 (- y^{2}) + 1 \cdot 1) y^{- 3} d y$

解题步骤 6.3.8

运用分配律。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{2} y^{4} y^{- 3} + y^{2} (- y^{2}) y^{- 3} + y^{2} \cdot 1 y^{- 3} + (1 y^{4} + 1 (- y^{2}) + 1 \cdot 1) y^{- 3} d y$

解题步骤 6.3.9

运用分配律。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{2} y^{4} y^{- 3} + y^{2} (- y^{2}) y^{- 3} + y^{2} \cdot 1 y^{- 3} + (1 y^{4} + 1 (- y^{2})) y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

解题步骤 6.3.10

运用分配律。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{2} y^{4} y^{- 3} + y^{2} (- y^{2}) y^{- 3} + y^{2} \cdot 1 y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 (- y^{2}) y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

解题步骤 6.3.11

将 $y^{2}$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{2} y^{4} y^{- 3} - 1 \cdot y^{2} y^{2} y^{- 3} + y^{2} \cdot 1 y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 (- y^{2}) y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

解题步骤 6.3.12

将 $y^{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{2} y^{4} y^{- 3} - 1 \cdot y^{2} y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 (- y^{2}) y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

解题步骤 6.3.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{2 + 4} y^{- 3} - 1 y^{2} y^{2} y^{- 3} + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

解题步骤 6.3.14

将 $2$ 和 $4$ 相加。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{6} y^{- 3} - 1 y^{2} y^{2} y^{- 3} + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

解题步骤 6.3.15

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{6 - 3} - 1 y^{2} y^{2} y^{- 3} + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

解题步骤 6.3.16

从 $6$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - 1 y^{2} y^{2} y^{- 3} + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

解题步骤 6.3.17

提取负因数。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - (y^{2} y^{2}) y^{- 3} + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

解题步骤 6.3.18

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y^{2 + 2} y^{- 3} + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

解题步骤 6.3.19

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y^{4} y^{- 3} + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

解题步骤 6.3.20

提取负因数。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - (y^{4} y^{- 3}) + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

解题步骤 6.3.21

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y^{4 - 3} + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

解题步骤 6.3.22

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y^{1} + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

解题步骤 6.3.23

化简。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

解题步骤 6.3.24

将 $y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

解题步骤 6.3.25

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{2 - 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

解题步骤 6.3.26

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{- 1} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

解题步骤 6.3.27

将 $y^{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{- 1} + y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

解题步骤 6.3.28

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{- 1} + y^{4 - 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

解题步骤 6.3.29

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{- 1} + y^{1} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

解题步骤 6.3.30

化简。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{- 1} + y + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

解题步骤 6.3.31

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{- 1} + y - y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

解题步骤 6.3.32

提取负因数。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{- 1} + y - (y^{2} y^{- 3}) + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

解题步骤 6.3.33

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{- 1} + y - y^{2 - 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

解题步骤 6.3.34

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{- 1} + y - y^{- 1} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

解题步骤 6.3.35

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{- 1} + y - y^{- 1} + 1 y^{- 3} d y$

解题步骤 6.3.36

将 $y^{- 3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{- 1} + y - y^{- 1} + y^{- 3} d y$

解题步骤 6.3.37

移动 $y^{- 1}$ 。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y + y^{- 1} - y^{- 1} + y^{- 3} d y$

解题步骤 6.3.38

移动 $- y$ 。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} + y - y + y^{- 1} - y^{- 1} + y^{- 3} d y$

解题步骤 6.3.39

从 $y$ 中减去 $y$ 。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} + 0 + y^{- 1} - y^{- 1} + y^{- 3} d y$

解题步骤 6.3.40

将 $y^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} + y^{- 1} - y^{- 1} + y^{- 3} d y$

解题步骤 6.3.41

从 $y^{- 1}$ 中减去 $y^{- 1}$ 。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} + 0 + y^{- 3} d y$

解题步骤 6.3.42

将 $y^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} + y^{- 3} d y$

解题步骤 6.4

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} (\int_{1}^{3} y^{3} d y + \int_{1}^{3} y^{- 3} d y)$

解题步骤 6.5

根据幂法则， $y^{3}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{4} y^{4}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} y^{4}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} y^{- 3} d y)$

解题步骤 6.6

根据幂法则， $y^{- 3}$ 对 $y$ 的积分是 $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} y^{4}]_{1}^{3} + - \frac{1}{2} y^{- 2}]_{1}^{3})$

解题步骤 6.7

化简答案。

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解题步骤 6.7.1

组合 $\frac{1}{4} y^{4}]_{1}^{3}$ 和 $- \frac{1}{2} y^{- 2}]_{1}^{3}$ 。

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{2} y^{- 2}]_{1}^{3}$

解题步骤 6.7.2

代入并化简。

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解题步骤 6.7.2.1

计算 $\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{2} y^{- 2}$ 在 $3$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{4} \cdot 3^{4} - \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2}) - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

解题步骤 6.7.2.2

化简。

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解题步骤 6.7.2.2.1

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 81 - \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

解题步骤 6.7.2.2.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $81$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{81}{4} - \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

解题步骤 6.7.2.2.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{2} (\frac{81}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^{2}} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

解题步骤 6.7.2.2.4

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{2} (\frac{81}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

解题步骤 6.7.2.2.5

将 $\frac{1}{9}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{81}{4} - \frac{1}{9 \cdot 2} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

解题步骤 6.7.2.2.6

将 $9$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{81}{4} - \frac{1}{18} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

解题步骤 6.7.2.2.7

要将 $\frac{81}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{81}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{18} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

解题步骤 6.7.2.2.8

要将 $- \frac{1}{18}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{81}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{18} \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

解题步骤 6.7.2.2.9

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $36$ 的形式。

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解题步骤 6.7.2.2.9.1

将 $\frac{81}{4}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{81 \cdot 9}{4 \cdot 9} - \frac{1}{18} \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

解题步骤 6.7.2.2.9.2

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{81 \cdot 9}{36} - \frac{1}{18} \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

解题步骤 6.7.2.2.9.3

将 $\frac{1}{18}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{81 \cdot 9}{36} - \frac{2}{18 \cdot 2} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

解题步骤 6.7.2.2.9.4

将 $18$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{81 \cdot 9}{36} - \frac{2}{36} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

解题步骤 6.7.2.2.10

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} (\frac{81 \cdot 9 - 2}{36} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

解题步骤 6.7.2.2.11

化简分子。

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解题步骤 6.7.2.2.11.1

将 $81$ 乘以 $9$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{729 - 2}{36} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

解题步骤 6.7.2.2.11.2

从 $729$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

解题步骤 6.7.2.2.12

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} - (\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

解题步骤 6.7.2.2.13

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

解题步骤 6.7.2.2.14

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot 1))$

解题步骤 6.7.2.2.15

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2}))$

解题步骤 6.7.2.2.16

要将 $- \frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}))$

解题步骤 6.7.2.2.17

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 6.7.2.2.17.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} - (\frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}))$

解题步骤 6.7.2.2.17.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} - (\frac{1}{4} - \frac{2}{4}))$

解题步骤 6.7.2.2.18

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} - \frac{1 - 2}{4})$

解题步骤 6.7.2.2.19

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} - \frac{- 1}{4})$

解题步骤 6.7.2.2.20

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} - - \frac{1}{4})$

解题步骤 6.7.2.2.21

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} + 1 (\frac{1}{4}))$

解题步骤 6.7.2.2.22

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} + \frac{1}{4})$

解题步骤 6.7.2.2.23

要将 $\frac{1}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9})$

解题步骤 6.7.2.2.24

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $36$ 的形式。

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解题步骤 6.7.2.2.24.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} + \frac{9}{4 \cdot 9})$

解题步骤 6.7.2.2.24.2

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} + \frac{9}{36})$

解题步骤 6.7.2.2.25

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{727 + 9}{36}$

解题步骤 6.7.2.2.26

将 $727$ 和 $9$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{736}{36}$

解题步骤 6.7.2.2.27

约去 $736$ 和 $36$ 的公因数。

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解题步骤 6.7.2.2.27.1

从 $736$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 (184)}{36}$

解题步骤 6.7.2.2.27.2

约去公因数。

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解题步骤 6.7.2.2.27.2.1

从 $36$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 184}{4 \cdot 9}$

解题步骤 6.7.2.2.27.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 184}{4 \cdot 9}$

解题步骤 6.7.2.2.27.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{184}{9}$

解题步骤 6.7.2.2.28

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{184}{9}$ 。

$\frac{184}{2 \cdot 9}$

解题步骤 6.7.2.2.29

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$\frac{184}{18}$

解题步骤 6.7.2.2.30

约去 $184$ 和 $18$ 的公因数。

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解题步骤 6.7.2.2.30.1

从 $184$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (92)}{18}$

解题步骤 6.7.2.2.30.2

约去公因数。

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解题步骤 6.7.2.2.30.2.1

从 $18$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 92}{2 \cdot 9}$

解题步骤 6.7.2.2.30.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 92}{2 \cdot 9}$

解题步骤 6.7.2.2.30.2.3

重写表达式。

$\frac{92}{9}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{92}{9}$

小数形式：

$10.\overline{2}$

带分数形式：

$10 \frac{2}{9}$

解题步骤 8

微积分学 示例

微积分学示例