微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x} - x$

解题步骤 1

相乘以使分子有理化。

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x} - x) (\sqrt{x} + x)}{\sqrt{x} + x}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

使用 FOIL（先外后内）展开分子。

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} x + \sqrt{x} (- x) - x^{2}}{\sqrt{x} + x}$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - x^{2}}{\sqrt{x} + x}$

解题步骤 2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x^{2}}{\sqrt{x} + x}$

解题步骤 2.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{\sqrt{x} + x}$

解题步骤 2.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.4.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{\sqrt{x} + x}$

解题步骤 2.2.4.2

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{1} - x^{2}}{\sqrt{x} + x}$

解题步骤 2.2.5

化简。

$lim_{x \to \infty} \frac{x - x^{2}}{\sqrt{x} + x}$

解题步骤 3

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x = \sqrt{x^{2}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} - \frac{x^{2}}{x}}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

解题步骤 4

化简项。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.1.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} - \frac{x^{2}}{x}}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

解题步骤 4.1.1.2

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{x^{2}}{x}}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

解题步骤 4.1.2

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{x \cdot x}{x}}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

解题步骤 4.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{x \cdot x}{x^{1}}}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

解题步骤 4.1.2.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

解题步骤 4.1.2.2.3

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

解题步骤 4.1.2.2.4

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{x}{1}}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

解题步骤 4.1.2.2.5

用 $x$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

解题步骤 4.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.2.1

约去 $x$ 的公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + 1}$

解题步骤 4.2.2

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{\sqrt{\frac{x^{1}}{x^{2}}} + 1}$

解题步骤 4.2.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x^{2}}} + 1}$

解题步骤 4.2.2.3

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.3.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}} + 1}$

解题步骤 4.2.2.3.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}} + 1}$

解题步骤 4.2.2.3.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{\sqrt{\frac{1}{x}} + 1}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{\sqrt{0} + 1}$

解题步骤 6

由于其分子为无穷，而分母趋于常数，因此该分式 $\frac{1 - x}{\sqrt{0} + 1}$ 趋于负无穷。

$- \infty$

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