微积分学示例

$y = {(2 x^{- 2} + 3)}^{- 3}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} ({(2 x^{- 2} + 3)}^{- 3})$

解题步骤 2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{d}{d y} [{(2 \frac{1}{x^{2}} + 3)}^{- 3}]$

解题步骤 3.1.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{d}{d y} [{(\frac{2}{x^{2}} + 3)}^{- 3}]$

解题步骤 3.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{{(\frac{2}{x^{2}} + 3)}^{3}}]$

解题步骤 3.3

化简分母。

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解题步骤 3.3.1

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{{(\frac{2}{x^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{2}})}^{3}}]$

解题步骤 3.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{{(\frac{2 + 3 x^{2}}{x^{2}})}^{3}}]$

解题步骤 3.3.3

对 $\frac{2 + 3 x^{2}}{x^{2}}$ 运用乘积法则。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3}}{{(x^{2})}^{3}}}]$

解题步骤 3.3.4

将 ${(x^{2})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3}}{x^{2 \cdot 3}}}]$

解题步骤 3.3.4.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3}}{x^{6}}}]$

解题步骤 3.4

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{d}{d y} [1 \frac{x^{6}}{{(2 + 3 x^{2})}^{3}}]$

解题步骤 3.5

将 $\frac{x^{6}}{{(2 + 3 x^{2})}^{3}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{6}}{{(2 + 3 x^{2})}^{3}}]$

解题步骤 3.6

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ 等于 $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ，其中 $f (y) = x^{6}$ 且 $g (y) = {(2 + 3 x^{2})}^{3}$ 。

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3} \frac{d}{d y} [x^{6}] - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{({(2 + 3 x^{2})}^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.7

将 ${({(2 + 3 x^{2})}^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.7.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3} \frac{d}{d y} [x^{6}] - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{(2 + 3 x^{2})}^{3 \cdot 2}}$

解题步骤 3.7.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3} \frac{d}{d y} [x^{6}] - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

解题步骤 3.8

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{6}$ 且 $g (y) = x$ 。

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解题步骤 3.8.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x$ 。

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{6}] \frac{d}{d y} [x]) - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

解题步骤 3.8.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3} (6 {u_{1}}^{5} \frac{d}{d y} [x]) - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

解题步骤 3.8.3

使用 $x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3} (6 x^{5} \frac{d}{d y} [x]) - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

解题步骤 3.9

将 $6$ 移到 ${(2 + 3 x^{2})}^{3}$ 的左侧。

$\frac{6 \cdot {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} \frac{d}{d y} [x] - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

解题步骤 3.10

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

解题步骤 3.11

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{3}$ 且 $g (y) = 2 + 3 x^{2}$ 。

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解题步骤 3.11.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 + 3 x^{2}$ 。

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - x^{6} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d y} [2 + 3 x^{2}])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

解题步骤 3.11.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - x^{6} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d y} [2 + 3 x^{2}])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

解题步骤 3.11.3

使用 $2 + 3 x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - x^{6} (3 {(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [2 + 3 x^{2}])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

解题步骤 3.12

求微分。

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解题步骤 3.12.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 3 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [2 + 3 x^{2}])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

解题步骤 3.12.2

根据加法法则， $2 + 3 x^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}]$ 。

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 3 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} (\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}]))}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

解题步骤 3.12.3

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 3 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} (0 + \frac{d}{d y} [3 x^{2}]))}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

解题步骤 3.12.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d y} [3 x^{2}]$ 相加。

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 3 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [3 x^{2}])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

解题步骤 3.12.5

因为 $3$ 对于 $y$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $3 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ 。

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 3 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} (3 \frac{d}{d y} [x^{2}]))}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

解题步骤 3.12.6

化简表达式。

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解题步骤 3.12.6.1

将 $3$ 移到 ${(2 + 3 x^{2})}^{2}$ 的左侧。

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 3 x^{6} (3 \cdot {(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

解题步骤 3.12.6.2

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 9 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

解题步骤 3.13

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{2}$ 且 $g (y) = x$ 。

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解题步骤 3.13.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $x$ 。

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 9 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]))}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

解题步骤 3.13.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ 等于 $n {u_{3}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 9 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} (2 u_{3} \frac{d}{d y} [x]))}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

解题步骤 3.13.3

使用 $x$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 9 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} (2 x \frac{d}{d y} [x]))}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

解题步骤 3.14

化简表达式。

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解题步骤 3.14.1

将 $2$ 移到 ${(2 + 3 x^{2})}^{2}$ 的左侧。

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 9 x^{6} (2 \cdot {(2 + 3 x^{2})}^{2} x \frac{d}{d y} [x])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

解题步骤 3.14.2

将 $2$ 乘以 $- 9$ 。

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 18 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} x \frac{d}{d y} [x])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

解题步骤 3.15

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 18 (x^{1} x^{6}) ({(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [x])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

解题步骤 3.16

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 18 x^{1 + 6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [x])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

解题步骤 3.17

将 $1$ 和 $6$ 相加。

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 18 x^{7} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [x])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

解题步骤 3.18

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 18 x^{7} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} x')}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

解题步骤 3.19

化简。

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解题步骤 3.19.1

化简分子。

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解题步骤 3.19.1.1

从 $6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 18 x^{7} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} x')$ 中分解出因数 $6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x'$ 。

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解题步骤 3.19.1.1.1

从 $6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x'$ 中分解出因数 $6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x'$ 。

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' (2 + 3 x^{2}) - 18 x^{7} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} x')}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

解题步骤 3.19.1.1.2

从 $- 18 x^{7} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} x')$ 中分解出因数 $6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x'$ 。

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' (2 + 3 x^{2}) + 6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' (- 3 x^{2})}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

解题步骤 3.19.1.1.3

从 $6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' (2 + 3 x^{2}) + 6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' (- 3 x^{2})$ 中分解出因数 $6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x'$ 。

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' (2 + 3 x^{2} - 3 x^{2})}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

解题步骤 3.19.1.2

从 $3 x^{2}$ 中减去 $3 x^{2}$ 。

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' (2 + 0)}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

解题步骤 3.19.1.3

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' \cdot 2}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

解题步骤 3.19.1.4

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$\frac{12 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x'}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

解题步骤 3.19.2

约去 ${(2 + 3 x^{2})}^{2}$ 和 ${(2 + 3 x^{2})}^{6}$ 的公因数。

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解题步骤 3.19.2.1

从 $12 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x'$ 中分解出因数 ${(2 + 3 x^{2})}^{2}$ 。

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{2} (12 x^{5} x')}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

解题步骤 3.19.2.2

约去公因数。

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解题步骤 3.19.2.2.1

从 ${(2 + 3 x^{2})}^{6}$ 中分解出因数 ${(2 + 3 x^{2})}^{2}$ 。

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{2} (12 x^{5} x')}{{(2 + 3 x^{2})}^{2} {(2 + 3 x^{2})}^{4}}$

解题步骤 3.19.2.2.2

约去公因数。

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{2} (12 x^{5} x')}{{(2 + 3 x^{2})}^{2} {(2 + 3 x^{2})}^{4}}$

解题步骤 3.19.2.2.3

重写表达式。

$\frac{12 x^{5} x'}{{(2 + 3 x^{2})}^{4}}$

解题步骤 3.19.3

重新排序项。

$\frac{12 x^{5} x'}{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$1 = \frac{12 x^{5} x'}{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}$

解题步骤 5

求解 $x'$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $\frac{12 x^{5} x'}{{(3 x^{2} + 2)}^{4}} = 1$ 。

$\frac{12 x^{5} x'}{{(3 x^{2} + 2)}^{4}} = 1$

解题步骤 5.2

两边同时乘以 ${(3 x^{2} + 2)}^{4}$ 。

$\frac{12 x^{5} x'}{{(3 x^{2} + 2)}^{4}} {(3 x^{2} + 2)}^{4} = 1 {(3 x^{2} + 2)}^{4}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

化简左边。

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解题步骤 5.3.1.1

约去 ${(3 x^{2} + 2)}^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{12 x^{5} x'}{{(3 x^{2} + 2)}^{4}} {(3 x^{2} + 2)}^{4} = 1 {(3 x^{2} + 2)}^{4}$

解题步骤 5.3.1.1.2

重写表达式。

$12 x^{5} x' = 1 {(3 x^{2} + 2)}^{4}$

解题步骤 5.3.2

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.1

将 ${(3 x^{2} + 2)}^{4}$ 乘以 $1$ 。

$12 x^{5} x' = {(3 x^{2} + 2)}^{4}$

解题步骤 5.4

将 $12 x^{5} x' = {(3 x^{2} + 2)}^{4}$ 中的每一项除以 $12 x^{5}$ 并化简。

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解题步骤 5.4.1

将 $12 x^{5} x' = {(3 x^{2} + 2)}^{4}$ 中的每一项都除以 $12 x^{5}$ 。

$\frac{12 x^{5} x'}{12 x^{5}} = \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}{12 x^{5}}$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.1

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{12 x^{5} x'}{12 x^{5}} = \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}{12 x^{5}}$

解题步骤 5.4.2.1.2

重写表达式。

$\frac{x^{5} x'}{x^{5}} = \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}{12 x^{5}}$

解题步骤 5.4.2.2

约去 $x^{5}$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{x^{5} x'}{x^{5}} = \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}{12 x^{5}}$

解题步骤 5.4.2.2.2

用 $x'$ 除以 $1$ 。

$x' = \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}{12 x^{5}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d x}{d y}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}{12 x^{5}}$

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