微积分学示例

$\int_{0}^{1} (3 x - 2 \sqrt{x}) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{0}^{1} 3 x - 2 \sqrt{x} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{1} 3 x d x + \int_{0}^{1} - 2 \sqrt{x} d x$

解题步骤 3

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} - 2 \sqrt{x} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 2 \sqrt{x} d x$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 2 \sqrt{x} d x$

解题步骤 6

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) - 2 \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

解题步骤 7

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) - 2 \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) - 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1})$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) - 2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1})$

解题步骤 9.2

代入并化简。

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解题步骤 9.2.1

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - 2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1})$

解题步骤 9.2.2

计算 $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 9.2.3

化简。

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解题步骤 9.2.3.1

一的任意次幂都为一。

$3 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 9.2.3.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$3 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) - 2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 9.2.3.3

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.3.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - 2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 9.2.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.3.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 9.2.3.3.2.2

约去公因数。

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 9.2.3.3.2.3

重写表达式。

$3 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) - 2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 9.2.3.3.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$3 (\frac{1}{2} - 0) - 2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 9.2.3.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$3 (\frac{1}{2} + 0) - 2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 9.2.3.5

将 $\frac{1}{2}$ 和 $0$ 相加。

$3 (\frac{1}{2}) - 2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 9.2.3.6

组合 $3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 9.2.3.7

一的任意次幂都为一。

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2 \cdot 1}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 9.2.3.8

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 9.2.3.9

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 9.2.3.10

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

解题步骤 9.2.3.11

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.11.1

约去公因数。

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

解题步骤 9.2.3.11.2

重写表达式。

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.12

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3})$

解题步骤 9.2.3.13

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - \frac{0}{3})$

解题步骤 9.2.3.14

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.14.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

解题步骤 9.2.3.14.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.3.14.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

解题步骤 9.2.3.14.2.2

约去公因数。

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

解题步骤 9.2.3.14.2.3

重写表达式。

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - \frac{0}{1})$

解题步骤 9.2.3.14.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - 0)$

解题步骤 9.2.3.15

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} + 0)$

解题步骤 9.2.3.16

将 $\frac{2}{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3})$

解题步骤 9.2.3.17

组合 $- 2$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{3}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{3}$

解题步骤 9.2.3.18

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3}{2} + \frac{- 4}{3}$

解题步骤 9.2.3.19

将负号移到分数的前面。

$\frac{3}{2} - \frac{4}{3}$

解题步骤 9.2.3.20

要将 $\frac{3}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

解题步骤 9.2.3.21

要将 $- \frac{4}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 9.2.3.22

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 9.2.3.22.1

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 9.2.3.22.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 3}{6} - \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 9.2.3.22.3

将 $\frac{4}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3 \cdot 3}{6} - \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

解题步骤 9.2.3.22.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 \cdot 3}{6} - \frac{4 \cdot 2}{6}$

解题步骤 9.2.3.23

在公分母上合并分子。

$\frac{3 \cdot 3 - 4 \cdot 2}{6}$

解题步骤 9.2.3.24

化简分子。

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解题步骤 9.2.3.24.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{9 - 4 \cdot 2}{6}$

解题步骤 9.2.3.24.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{9 - 8}{6}$

解题步骤 9.2.3.24.3

从 $9$ 中减去 $8$ 。

$\frac{1}{6}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{6}$

小数形式：

$0.1\overline{6}$

解题步骤 11

微积分学 示例

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