微积分学示例

$\sqrt{1 - y^{2}}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 - y^{2}}$ 重写成 ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d y} [{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (y) = 1 - y^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 - y^{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

解题步骤 1.2.3

使用 $1 - y^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

解题步骤 1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

解题步骤 1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

解题步骤 1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

解题步骤 1.6

化简分子。

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解题步骤 1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

解题步骤 1.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

解题步骤 1.7

合并分数。

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解题步骤 1.7.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

解题步骤 1.7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

解题步骤 1.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

解题步骤 1.8

根据加法法则， $1 - y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ 。

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y^{2}])$

解题步骤 1.9

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}])$

解题步骤 1.10

将 $0$ 和 $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ 相加。

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

解题步骤 1.11

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d y} [y^{2}])$

解题步骤 1.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 y))$

解题步骤 1.13

化简项。

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解题步骤 1.13.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 y)$

解题步骤 1.13.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- 2}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} y$

解题步骤 1.13.3

组合 $\frac{- 2}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $y$ 。

$\frac{- 2 y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.13.4

从 $- 2 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- y)}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.14

约去公因数。

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解题步骤 1.14.1

从 $2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- y)}{2 ({(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 1.14.2

约去公因数。

$\frac{2 (- y)}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.14.3

重写表达式。

$\frac{- y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.15

将负号移到分数的前面。

$f' (y) = - \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = - 1$ 且 $g (y) = \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{d}{d y} [\frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ 等于 $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ，其中 $f (y) = y$ 且 $g (y) = {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.3

将 ${({(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1

约去公因数。

解题步骤 2.3.2.2

重写表达式。

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 - y^{2})}^{1}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.4

化简。

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.5.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - y \frac{d}{d y} [{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.5.2

将 ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y \frac{d}{d y} [{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (y) = 1 - y^{2}$ 。

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解题步骤 2.6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 - y^{2}$ 。

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [1 - y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.6.3

使用 $1 - y^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y (\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y (\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y (\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.9

在公分母上合并分子。

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y (\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.10

化简分子。

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解题步骤 2.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y (\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y (\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.11

合并分数。

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解题步骤 2.11.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y (\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.11.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y (\frac{{(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.11.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y (\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.11.4

组合 $\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $y$ 。

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.12

根据加法法则， $1 - y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ 。

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.13

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.14

将 $0$ 和 $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ 相加。

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- y^{2}]}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.15

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d y} [y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.16

乘。

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解题步骤 2.16.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1 \frac{y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{2}]}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.16.2

将 $\frac{y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{2}]}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.17

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 y)}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.18

合并分数。

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解题步骤 2.18.1

组合 $2$ 和 $\frac{y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} y}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.18.2

组合 $\frac{2 y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $y$ 。

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 y \cdot y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.19

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (y^{1} y)}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.20

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (y^{1} y^{1})}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.21

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 y^{1 + 1}}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.22

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 y^{2}}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.23

约去公因数。

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 y^{2}}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.24

重写表达式。

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{y^{2}}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.25

要将 ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{\frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{2}}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.26

在公分母上合并分子。

$- \frac{\frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + y^{2}}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.27

通过指数相加将 ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.27.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{\frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + y^{2}}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.27.2

在公分母上合并分子。

$- \frac{\frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} + y^{2}}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.27.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{\frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{2}{2}} + y^{2}}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.27.4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$- \frac{\frac{{(1 - y^{2})}^{1} + y^{2}}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.28

化简 ${(1 - y^{2})}^{1}$ 。

$- \frac{\frac{1 - y^{2} + y^{2}}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.29

将 $- y^{2}$ 和 $y^{2}$ 相加。

$- \frac{\frac{1 + 0}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.30

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{\frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.31

将 $\frac{\frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}}$ 重写为乘积形式。

$- (\frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{1 - y^{2}}) + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.32

将 $\frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{1 - y^{2}}$ 。

$- \frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - y^{2})} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.33

通过指数相加将 ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1 - y^{2}$ 。

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解题步骤 2.33.1

将 ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1 - y^{2}$ 。

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解题步骤 2.33.1.1

对 $1 - y^{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - y^{2})}^{1}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.33.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.33.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.33.3

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.33.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.34

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

解题步骤 2.35

化简表达式。

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解题步骤 2.35.1

将 $\frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{3}{2}}} + 0$

解题步骤 2.35.2

将 $- \frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (y) = - \frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

微积分学 示例

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