微积分学示例

$\frac{- t e^{- t} + e^{- t}}{e^{t}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = - t e^{- t} + e^{- t}$ 且 $g (t) = e^{t}$ 。

$\frac{e^{t} \frac{d}{d t} [- t e^{- t} + e^{- t}] - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{{(e^{t})}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

将 ${(e^{t})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{e^{t} \frac{d}{d t} [- t e^{- t} + e^{- t}] - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{t \cdot 2}}$

解题步骤 2.1.2

将 $2$ 移到 $t$ 的左侧。

$\frac{e^{t} \frac{d}{d t} [- t e^{- t} + e^{- t}] - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $- t e^{- t} + e^{- t}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [- t e^{- t}] + \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ 。

$\frac{e^{t} (\frac{d}{d t} [- t e^{- t}] + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

解题步骤 2.3

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- t e^{- t}$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [t e^{- t}]$ 。

$\frac{e^{t} (- \frac{d}{d t} [t e^{- t}] + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = t$ 且 $g (t) = e^{- t}$ 。

$\frac{e^{t} (- (t \frac{d}{d t} [e^{- t}] + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = - t$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- t$ 。

$\frac{e^{t} (- (t (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

解题步骤 4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{e^{t} (- (t (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

解题步骤 4.3

使用 $- t$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{e^{t} (- (t (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- t$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\frac{e^{t} (- (t (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t])) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{e^{t} (- (t (e^{- t} (- 1 \cdot 1)) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

解题步骤 5.3

化简表达式。

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解题步骤 5.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{t} (- (t (e^{- t} \cdot - 1) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

解题步骤 5.3.2

将 $- 1$ 移到 $e^{- t}$ 的左侧。

$\frac{e^{t} (- (t (- 1 \cdot e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

解题步骤 5.3.3

将 $- 1 e^{- t}$ 重写为 $- e^{- t}$ 。

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

解题步骤 5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t} \cdot 1) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

解题步骤 5.5

将 $e^{- t}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

解题步骤 6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = - t$ 。

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解题步骤 6.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- t$ 。

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

解题步骤 6.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

解题步骤 6.3

使用 $- t$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

解题步骤 7

求微分。

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解题步骤 7.1

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- t$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) + e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t])) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

解题步骤 7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) + e^{- t} (- 1 \cdot 1)) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

解题步骤 7.3

化简表达式。

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解题步骤 7.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) + e^{- t} \cdot - 1) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

解题步骤 7.3.2

将 $- 1$ 移到 $e^{- t}$ 的左侧。

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) - 1 \cdot e^{- t}) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

解题步骤 7.3.3

将 $- 1 e^{- t}$ 重写为 $- e^{- t}$ 。

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) - e^{- t}) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

解题步骤 8

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ 等于 $a^{t} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) - e^{- t}) - (- t e^{- t} + e^{- t}) e^{t}}{e^{2 t}}$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

运用分配律。

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t})) - e^{- t} - e^{- t}) - (- t e^{- t} + e^{- t}) e^{t}}{e^{2 t}}$

解题步骤 9.2

运用分配律。

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t} + e^{- t}) e^{t}}{e^{2 t}}$

解题步骤 9.3

运用分配律。

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) + (- (- t e^{- t}) - e^{- t}) e^{t}}{e^{2 t}}$

解题步骤 9.4

运用分配律。

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

解题步骤 9.5

化简分子。

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解题步骤 9.5.1

化简每一项。

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解题步骤 9.5.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 1 \cdot - 1 e^{t} (t e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

解题步骤 9.5.1.2

通过指数相加将 $e^{t}$ 乘以 $e^{- t}$ 。

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解题步骤 9.5.1.2.1

移动 $e^{- t}$ 。

$\frac{- 1 \cdot - 1 (e^{- t} e^{t}) t + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

解题步骤 9.5.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 1 \cdot - 1 e^{- t + t} t + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

解题步骤 9.5.1.2.3

将 $- t$ 和 $t$ 相加。

$\frac{- 1 \cdot - 1 e^{0} t + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

解题步骤 9.5.1.3

化简 $- 1 \cdot - 1 e^{0} t$ 。

$\frac{- 1 \cdot - 1 t + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

解题步骤 9.5.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1 t + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

解题步骤 9.5.1.5

将 $t$ 乘以 $1$ 。

$\frac{t + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

解题步骤 9.5.1.6

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{t - e^{t} e^{- t} + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

解题步骤 9.5.1.7

通过指数相加将 $e^{t}$ 乘以 $e^{- t}$ 。

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解题步骤 9.5.1.7.1

移动 $e^{- t}$ 。

$\frac{t - (e^{- t} e^{t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

解题步骤 9.5.1.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{t - e^{- t + t} + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

解题步骤 9.5.1.7.3

将 $- t$ 和 $t$ 相加。

$\frac{t - e^{0} + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

解题步骤 9.5.1.8

化简 $- e^{0}$ 。

$\frac{t - 1 + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

解题步骤 9.5.1.9

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{t - 1 - e^{t} e^{- t} - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

解题步骤 9.5.1.10

通过指数相加将 $e^{t}$ 乘以 $e^{- t}$ 。

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解题步骤 9.5.1.10.1

移动 $e^{- t}$ 。

$\frac{t - 1 - (e^{- t} e^{t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

解题步骤 9.5.1.10.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{t - 1 - e^{- t + t} - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

解题步骤 9.5.1.10.3

将 $- t$ 和 $t$ 相加。

$\frac{t - 1 - e^{0} - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

解题步骤 9.5.1.11

化简 $- e^{0}$ 。

$\frac{t - 1 - 1 - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

解题步骤 9.5.1.12

通过指数相加将 $e^{- t}$ 乘以 $e^{t}$ 。

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解题步骤 9.5.1.12.1

移动 $e^{t}$ 。

$\frac{t - 1 - 1 - (- t (e^{t} e^{- t})) - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

解题步骤 9.5.1.12.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{t - 1 - 1 - (- t e^{t - t}) - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

解题步骤 9.5.1.12.3

从 $t$ 中减去 $t$ 。

$\frac{t - 1 - 1 - (- t e^{0}) - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

解题步骤 9.5.1.13

化简 $- (- t e^{0})$ 。

$\frac{t - 1 - 1 - - t - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

解题步骤 9.5.1.14

乘以 $- - t$ 。

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解题步骤 9.5.1.14.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{t - 1 - 1 + 1 t - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

解题步骤 9.5.1.14.2

将 $t$ 乘以 $1$ 。

$\frac{t - 1 - 1 + t - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

解题步骤 9.5.1.15

通过指数相加将 $e^{- t}$ 乘以 $e^{t}$ 。

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解题步骤 9.5.1.15.1

移动 $e^{t}$ 。

$\frac{t - 1 - 1 + t - (e^{t} e^{- t})}{e^{2 t}}$

解题步骤 9.5.1.15.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{t - 1 - 1 + t - e^{t - t}}{e^{2 t}}$

解题步骤 9.5.1.15.3

从 $t$ 中减去 $t$ 。

$\frac{t - 1 - 1 + t - e^{0}}{e^{2 t}}$

解题步骤 9.5.1.16

化简 $- e^{0}$ 。

$\frac{t - 1 - 1 + t - 1}{e^{2 t}}$

解题步骤 9.5.2

将 $t$ 和 $t$ 相加。

$\frac{2 t - 1 - 1 - 1}{e^{2 t}}$

解题步骤 9.5.3

从 $- 1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{2 t - 2 - 1}{e^{2 t}}$

解题步骤 9.5.4

从 $- 2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{2 t - 3}{e^{2 t}}$

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