微积分学示例

$\int_{2}^{4} x^{\frac{1}{3}} (1 - 2 x) d x$

解题步骤 1

展开 $x^{\frac{1}{3}} (1 - 2 x)$ 。

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解题步骤 1.1

运用分配律。

$\int_{2}^{4} x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{3}} (- 2 x) d x$

解题步骤 1.2

将 $x^{\frac{1}{3}}$ 和 $1$ 重新排序。

$\int_{2}^{4} 1 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (- 2 x) d x$

解题步骤 1.3

将 $x^{\frac{1}{3}}$ 和 $- 2$ 重新排序。

$\int_{2}^{4} 1 \cdot x^{\frac{1}{3}} - 2 \cdot x^{\frac{1}{3}} x d x$

解题步骤 1.4

将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $1$ 。

$\int_{2}^{4} x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} x d x$

解题步骤 1.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{2}^{4} x^{\frac{1}{3}} - 2 (x^{\frac{1}{3}} x^{1}) d x$

解题步骤 1.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{2}^{4} x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3} + 1} d x$

解题步骤 1.7

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int_{2}^{4} x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}} d x$

解题步骤 1.8

在公分母上合并分子。

$\int_{2}^{4} x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{1 + 3}{3}} d x$

解题步骤 1.9

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\int_{2}^{4} x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{2}^{4} x^{\frac{1}{3}} d x + \int_{2}^{4} - 2 x^{\frac{4}{3}} d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ 。

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{2}^{4} + \int_{2}^{4} - 2 x^{\frac{4}{3}} d x$

解题步骤 4

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{2}^{4} - 2 \int_{2}^{4} x^{\frac{4}{3}} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{\frac{4}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}$ 。

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{2}^{4} - 2 (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}]_{2}^{4})$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

组合 $\frac{3}{7}$ 和 $x^{\frac{7}{3}}$ 。

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{2}^{4} - 2 (\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}]_{2}^{4})$

解题步骤 6.2

代入并化简。

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解题步骤 6.2.1

计算 $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ 在 $4$ 处和在 $2$ 处的值。

$(\frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 2^{\frac{4}{3}} - 2 (\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}]_{2}^{4})$

解题步骤 6.2.2

计算 $\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}$ 在 $4$ 处和在 $2$ 处的值。

$\frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 2^{\frac{4}{3}} - 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})$

解题步骤 6.2.3

化简。

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解题步骤 6.2.3.1

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $4^{\frac{4}{3}}$ 。

$\frac{3 \cdot 4^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3}{4} \cdot 2^{\frac{4}{3}} - 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})$

解题步骤 6.2.3.2

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $4^{1}$ 移动到分子。

$3 \cdot 4^{\frac{4}{3}} \cdot 4^{- 1} - \frac{3}{4} \cdot 2^{\frac{4}{3}} - 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})$

解题步骤 6.2.3.3

通过指数相加将 $4^{\frac{4}{3}}$ 乘以 $4^{- 1}$ 。

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解题步骤 6.2.3.3.1

移动 $4^{- 1}$ 。

$3 \cdot (4^{- 1} \cdot 4^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 2^{\frac{4}{3}} - 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})$

解题步骤 6.2.3.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 \cdot 4^{- 1 + \frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 2^{\frac{4}{3}} - 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})$

解题步骤 6.2.3.3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$3 \cdot 4^{- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 2^{\frac{4}{3}} - 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})$

解题步骤 6.2.3.3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$3 \cdot 4^{\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 2^{\frac{4}{3}} - 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})$

解题步骤 6.2.3.3.5

在公分母上合并分子。

$3 \cdot 4^{\frac{- 1 \cdot 3 + 4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 2^{\frac{4}{3}} - 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})$

解题步骤 6.2.3.3.6

化简分子。

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解题步骤 6.2.3.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$3 \cdot 4^{\frac{- 3 + 4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 2^{\frac{4}{3}} - 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})$

解题步骤 6.2.3.3.6.2

将 $- 3$ 和 $4$ 相加。

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 2^{\frac{4}{3}} - 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})$

解题步骤 6.2.3.4

组合 $2^{\frac{4}{3}}$ 和 $\frac{3}{4}$ 。

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} - \frac{2^{\frac{4}{3}} \cdot 3}{4} - 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})$

解题步骤 6.2.3.5

将 $3$ 移到 $2^{\frac{4}{3}}$ 的左侧。

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}{4} - 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})$

解题步骤 6.2.3.6

要将 $- 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}{4} - 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7}) \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 6.2.3.7

组合 $- 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{- 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7}) \cdot 4}{4}$

解题步骤 6.2.3.8

在公分母上合并分子。

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3 \cdot 2^{\frac{4}{3}} - 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7}) \cdot 4}{4}$

解题步骤 6.2.3.9

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3 \cdot 2^{\frac{4}{3}} - 8 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})}{4}$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1.1

化简分子。

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解题步骤 6.3.1.1.1

运用分配律。

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3 \cdot 2^{\frac{4}{3}} - 8 \frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - 8 (- \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})}{4}$

解题步骤 6.3.1.1.2

乘以 $- 8 \frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7}$ 。

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解题步骤 6.3.1.1.2.1

组合 $- 8$ 和 $\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7}$ 。

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + \frac{- 8 (3 \cdot 4^{\frac{7}{3}})}{7} - 8 (- \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})}{4}$

解题步骤 6.3.1.1.2.2

将 $3$ 乘以 $- 8$ 。

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + \frac{- 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - 8 (- \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})}{4}$

解题步骤 6.3.1.1.3

乘以 $- 8 (- \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})$ 。

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解题步骤 6.3.1.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 8$ 。

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + \frac{- 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} + 8 \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7}}{4}$

解题步骤 6.3.1.1.3.2

组合 $8$ 和 $\frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7}$ 。

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + \frac{- 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} + \frac{8 (3 \cdot 2^{\frac{7}{3}})}{7}}{4}$

解题步骤 6.3.1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + \frac{- 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} + \frac{24 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7}}{4}$

解题步骤 6.3.1.1.4

将负号移到分数的前面。

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3 \cdot 2^{\frac{4}{3}} - \frac{24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} + \frac{24 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7}}{4}$

解题步骤 6.3.1.1.5

要将 $- 3 \cdot 2^{\frac{4}{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3 \cdot 2^{\frac{4}{3}} \cdot \frac{7}{7} + \frac{24 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7}}{4}$

解题步骤 6.3.1.1.6

组合 $- 3 \cdot 2^{\frac{4}{3}}$ 和 $\frac{7}{7}$ 。

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{\frac{- 3 \cdot 2^{\frac{4}{3}} \cdot 7}{7} + \frac{24 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7}}{4}$

解题步骤 6.3.1.1.7

在公分母上合并分子。

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{\frac{- 3 \cdot 2^{\frac{4}{3}} \cdot 7 + 24 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7}}{4}$

解题步骤 6.3.1.1.8

在公分母上合并分子。

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{\frac{- 3 \cdot 2^{\frac{4}{3}} \cdot 7 + 24 \cdot 2^{\frac{7}{3}} - 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7}}{4}$

解题步骤 6.3.1.1.9

将 $7$ 乘以 $- 3$ 。

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{\frac{- 21 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + 24 \cdot 2^{\frac{7}{3}} - 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7}}{4}$

解题步骤 6.3.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{- 21 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + 24 \cdot 2^{\frac{7}{3}} - 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 6.3.1.3

乘以 $\frac{- 21 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + 24 \cdot 2^{\frac{7}{3}} - 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 6.3.1.3.1

将 $\frac{- 21 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + 24 \cdot 2^{\frac{7}{3}} - 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{- 21 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + 24 \cdot 2^{\frac{7}{3}} - 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7 \cdot 4}$

解题步骤 6.3.1.3.2

将 $7$ 乘以 $4$ 。

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{- 21 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + 24 \cdot 2^{\frac{7}{3}} - 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{28}$

解题步骤 6.3.2

要将 $3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{28}{28}$ 。

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{28}{28} + \frac{- 21 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + 24 \cdot 2^{\frac{7}{3}} - 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{28}$

解题步骤 6.3.3

组合 $3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}$ 和 $\frac{28}{28}$ 。

$\frac{3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} \cdot 28}{28} + \frac{- 21 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + 24 \cdot 2^{\frac{7}{3}} - 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{28}$

解题步骤 6.3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} \cdot 28 - 21 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + 24 \cdot 2^{\frac{7}{3}} - 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{28}$

解题步骤 6.3.5

将 $28$ 乘以 $3$ 。

$\frac{84 \cdot 4^{\frac{1}{3}} - 21 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + 24 \cdot 2^{\frac{7}{3}} - 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{28}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{84 \cdot 4^{\frac{1}{3}} - 21 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + 24 \cdot 2^{\frac{7}{3}} - 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{28}$

小数形式：

$- 14.57802067 \dots$

解题步骤 8

微积分学 示例

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