微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \tan^{2} (θ) d θ$

解题步骤 1

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (θ)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (θ)$ 的形式。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} - 1 + \sec^{2} (θ) d θ$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} - 1 d θ + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sec^{2} (θ) d θ$

解题步骤 3

应用常数不变法则。

$- θ]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sec^{2} (θ) d θ$

解题步骤 4

因为 $\tan (θ)$ 的导数为 $\sec^{2} (θ)$ ，所以 $\sec^{2} (θ)$ 的积分为 $\tan (θ)$ 。

$- θ]_{0}^{\frac{π}{2}} + \tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

组合 $- θ]_{0}^{\frac{π}{2}}$ 和 $\tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{2}}$ 。

$- θ + \tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

解题步骤 5.2

代入并化简。

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解题步骤 5.2.1

计算 $- θ + \tan (θ)$ 在 $\frac{π}{2}$ 处和在 $0$ 处的值。

$(- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2})) - (- 0 + \tan (0))$

解题步骤 5.2.2

化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2}) - (0 + \tan (0))$

解题步骤 5.2.2.2

将 $0$ 和 $\tan (0)$ 相加。

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2}) - \tan (0)$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2}) - 0$

解题步骤 5.3.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2}) + 0$

解题步骤 5.3.3

将 $- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2})$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2})$

解题步骤 6

$\tan (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$ 。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{π}{2}$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{3})$

解题步骤 6.2

使用两角和公式。

$- \frac{π}{2} + \frac{\tan (\frac{π}{6}) + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})}$

解题步骤 6.3

$\tan (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})}$

解题步骤 6.4

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})}$

解题步骤 6.5

$\tan (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (\frac{π}{3})}$

解题步骤 6.6

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 6.7

化简 $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}}$ 。

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解题步骤 6.7.1

化简每一项。

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解题步骤 6.7.1.1

乘以 $- \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}$ 。

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解题步骤 6.7.1.1.1

组合 $\sqrt{3}$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{3}}$

解题步骤 6.7.1.1.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{3}}$

解题步骤 6.7.1.1.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{3}}$

解题步骤 6.7.1.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}}$

解题步骤 6.7.1.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3}}$

解题步骤 6.7.1.2

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 6.7.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}}$

解题步骤 6.7.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}}$

解题步骤 6.7.1.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}}$

解题步骤 6.7.1.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.7.1.2.4.1

约去公因数。

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}}$

解题步骤 6.7.1.2.4.2

重写表达式。

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{1}}{3}}$

解题步骤 6.7.1.2.5

计算指数。

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}}$

解题步骤 6.7.1.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.7.1.3.1

约去公因数。

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}}$

解题步骤 6.7.1.3.2

重写表达式。

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 6.7.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1}$

解题步骤 6.7.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$

解题步骤 6.7.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$

解题步骤 6.8

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$

解题步骤 7

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

微积分学 示例

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