微积分学示例

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{3}}^{\frac{2}{3}} \frac{1}{x^{5} \sqrt{9 x^{2} - 1}} d x$

解题步骤 1

使 $x = \frac{1}{3} \sec (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\frac{\sec (t) \tan (t)}{3}$ 为正数。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(\frac{1}{3} \sec (t))}^{5} \sqrt{9 {(\frac{1}{3} \sec (t))}^{2} - 1}} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简 $\sqrt{9 {(\frac{1}{3} \sec (t))}^{2} - 1}$ 。

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解题步骤 2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\sec (t)$ 。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(\frac{1}{3} \sec (t))}^{5} \sqrt{9 {(\frac{\sec (t)}{3})}^{2} - 1}} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.2

对 $\frac{\sec (t)}{3}$ 运用乘积法则。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(\frac{1}{3} \sec (t))}^{5} \sqrt{9 \frac{\sec^{2} (t)}{3^{2}} - 1}} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(\frac{1}{3} \sec (t))}^{5} \sqrt{9 \frac{\sec^{2} (t)}{9} - 1}} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.4

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.4.1

约去公因数。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(\frac{1}{3} \sec (t))}^{5} \sqrt{9 \frac{\sec^{2} (t)}{9} - 1}} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.4.2

重写表达式。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(\frac{1}{3} \sec (t))}^{5} \sqrt{\sec^{2} (t) - 1}} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.2

使用勾股恒等式。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(\frac{1}{3} \sec (t))}^{5} \sqrt{\tan^{2} (t)}} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(\frac{1}{3} \sec (t))}^{5} \tan (t)} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.2

合并分数。

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解题步骤 2.2.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\sec (t)$ 。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(\frac{\sec (t)}{3})}^{5} \tan (t)} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.2.2

化简表达式。

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解题步骤 2.2.2.1

对 $\frac{\sec (t)}{3}$ 运用乘积法则。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{\frac{\sec^{5} (t)}{3^{5}} \tan (t)} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.2.1

对 $3$ 进行 $5$ 次方运算。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{\frac{\sec^{5} (t)}{243} \tan (t)} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.2.2.2.2

组合 $\frac{\sec^{5} (t)}{243}$ 和 $\tan (t)$ 。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{\frac{\sec^{5} (t) \tan (t)}{243}} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.2.2.2.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sec^{5} (t) \tan (t)}{243}$ 。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 1 \frac{243}{\sec^{5} (t) \tan (t)} \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.2.2.2.4

将 $\frac{243}{\sec^{5} (t) \tan (t)}$ 乘以 $1$ 。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{243}{\sec^{5} (t) \tan (t)} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.2.2.2.5

将 $\frac{243}{\sec^{5} (t) \tan (t)}$ 乘以 $\frac{\sec (t) \tan (t)}{3}$ 。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{243 (\sec (t) \tan (t))}{\sec^{5} (t) \tan (t) \cdot 3} d t$

解题步骤 2.2.2.2.6

将 $3$ 移到 $\sec^{5} (t) \tan (t)$ 的左侧。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{243 \sec (t) \tan (t)}{3 \cdot (\sec^{5} (t) \tan (t))} d t$

解题步骤 2.2.2.2.7

约去 $243$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.2.7.1

从 $243 \sec (t) \tan (t)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{3 (81 \sec (t) \tan (t))}{3 \sec^{5} (t) \tan (t)} d t$

解题步骤 2.2.2.2.7.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.2.2.7.2.1

从 $3 \sec^{5} (t) \tan (t)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{3 (81 \sec (t) \tan (t))}{3 (\sec^{5} (t) \tan (t))} d t$

解题步骤 2.2.2.2.7.2.2

约去公因数。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{3 (81 \sec (t) \tan (t))}{3 (\sec^{5} (t) \tan (t))} d t$

解题步骤 2.2.2.2.7.2.3

重写表达式。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{81 \sec (t) \tan (t)}{\sec^{5} (t) \tan (t)} d t$

解题步骤 2.2.2.2.8

约去 $\sec (t)$ 和 $\sec^{5} (t)$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.2.8.1

从 $81 \sec (t) \tan (t)$ 中分解出因数 $\sec (t)$ 。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t) (81 \tan (t))}{\sec^{5} (t) \tan (t)} d t$

解题步骤 2.2.2.2.8.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.2.2.8.2.1

从 $\sec^{5} (t) \tan (t)$ 中分解出因数 $\sec (t)$ 。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t) (81 \tan (t))}{\sec (t) (\sec^{4} (t) \tan (t))} d t$

解题步骤 2.2.2.2.8.2.2

约去公因数。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t) (81 \tan (t))}{\sec (t) (\sec^{4} (t) \tan (t))} d t$

解题步骤 2.2.2.2.8.2.3

重写表达式。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{81 \tan (t)}{\sec^{4} (t) \tan (t)} d t$

解题步骤 2.2.2.2.9

约去 $\tan (t)$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.2.9.1

约去公因数。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{81 \tan (t)}{\sec^{4} (t) \tan (t)} d t$

解题步骤 2.2.2.2.9.2

重写表达式。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{81}{\sec^{4} (t)} d t$

解题步骤 3

由于 $81$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $81$ 移到积分外。

$81 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{\sec^{4} (t)} d t$

解题步骤 4

化简分母。

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解题步骤 4.1

将 $\sec (t)$ 重写为正弦和余弦形式。

$81 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(\frac{1}{\cos (t)})}^{4}} d t$

解题步骤 4.2

对 $\frac{1}{\cos (t)}$ 运用乘积法则。

$81 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{\frac{1^{4}}{\cos^{4} (t)}} d t$

解题步骤 4.3

一的任意次幂都为一。

$81 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{\frac{1}{\cos^{4} (t)}} d t$

解题步骤 5

将分子乘以分母的倒数。

$81 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 1 \cos^{4} (t) d t$

解题步骤 6

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 6.1

将 $\cos^{4} (t)$ 乘以 $1$ 。

$81 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos^{4} (t) d t$

解题步骤 6.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$81 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} {\cos (t)}^{2 (2)} d t$

解题步骤 6.3

将 ${\cos (t)}^{2 (2)}$ 重写为乘方形式。

$81 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} {(\cos^{2} (t))}^{2} d t$

解题步骤 7

使用半角公式将 $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ 重新书写为 $\cos^{2} (t)$ 的形式。

$81 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} {(\frac{1 + \cos (2 t)}{2})}^{2} d t$

解题步骤 8

使 $u_{1} = 2 t$ 。然后使 $d u_{1} = 2 d t$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = d t$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u_{1} = 2 t$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d t}$ 。

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解题步骤 8.1.1

对 $2 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

解题步骤 8.1.2

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 8.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 8.2

将下限代入替换 $u_{1} = 2 t$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = 2 \frac{π}{4}$

解题步骤 8.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

解题步骤 8.3.2

约去公因数。

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 8.3.3

重写表达式。

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

解题步骤 8.4

将上限代入替换 $u_{1} = 2 t$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{3}$

解题步骤 8.5

组合 $2$ 和 $\frac{π}{3}$ 。

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 8.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 8.7

使用 $u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$81 \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 9

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$81 (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1})$

解题步骤 10

化简项。

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解题步骤 10.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $81$ 。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

解题步骤 10.2

将 $\frac{1 + \cos (u_{1})}{2}$ 重写为乘积形式。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} {(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})))}^{2} d u_{1}$

解题步骤 10.3

展开 ${(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})))}^{2}$ 。

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解题步骤 10.3.1

将幂重写为乘积形式。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1}))) d u_{1}$

解题步骤 10.3.2

运用分配律。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1}))) d u_{1}$

解题步骤 10.3.3

运用分配律。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

解题步骤 10.3.4

运用分配律。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

解题步骤 10.3.5

运用分配律。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

解题步骤 10.3.6

运用分配律。

解题步骤 10.3.7

将 $\frac{1}{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

解题步骤 10.3.8

将 $\frac{1}{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} 1 \cdot \frac{1}{2} (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

解题步骤 10.3.9

移动 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

解题步骤 10.3.10

将 $\frac{1}{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

解题步骤 10.3.11

将 $\frac{1}{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

解题步骤 10.3.12

移动 $\cos (u_{1})$ 。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot 1 \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

解题步骤 10.3.13

将 $\frac{1}{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

解题步骤 10.3.14

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 10.3.15

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 10.3.16

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{2 \cdot 2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 10.3.17

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 10.3.18

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 10.3.19

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 10.3.20

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 10.3.21

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\cos (u_{1})$ 。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 10.3.22

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 10.3.23

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\cos (u_{1})$ 。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 10.3.24

将 $\frac{\cos (u_{1})}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 10.3.25

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 10.3.26

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\cos (u_{1})$ 。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 10.3.27

将 $\frac{\cos (u_{1})}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 10.3.28

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 10.3.29

组合 $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ 和 $\cos (u_{1})$ 。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

解题步骤 10.3.30

对 $\cos (u_{1})$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

解题步骤 10.3.31

对 $\cos (u_{1})$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})}{4} d u_{1}$

解题步骤 10.3.32

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{{\cos (u_{1})}^{1 + 1}}{4} d u_{1}$

解题步骤 10.3.33

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

解题步骤 10.3.34

将 $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ 和 $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ 相加。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + 2 \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

解题步骤 10.3.35

组合 $2$ 和 $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ 。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

解题步骤 10.3.36

将 $\frac{2 \cos (u_{1})}{4}$ 和 $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ 重新排序。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

解题步骤 10.3.37

将 $\frac{1}{4}$ 和 $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ 重新排序。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

解题步骤 10.4

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 10.4.1

从 $2 \cos (u_{1})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (\cos (u_{1}))}{4} d u_{1}$

解题步骤 10.4.2

约去公因数。

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解题步骤 10.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{2 \cdot 2} d u_{1}$

解题步骤 10.4.2.2

约去公因数。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{2 \cdot 2} d u_{1}$

解题步骤 10.4.2.3

重写表达式。

$\frac{81}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

解题步骤 11

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{81}{2} (\int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

解题步骤 12

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{81}{2} (\frac{1}{4} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

解题步骤 13

使用半角公式将 $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ 重新书写为 $\cos^{2} (u_{1})$ 的形式。

$\frac{81}{2} (\frac{1}{4} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

解题步骤 14

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{81}{2} (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{1}{2 \cdot 4} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

解题步骤 15.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

解题步骤 16

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (\int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

解题步骤 17

应用常数不变法则。

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

解题步骤 18

使 $u_{2} = 2 u_{1}$ 。然后使 $d u_{2} = 2 d u_{1}$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 18.1

设 $u_{2} = 2 u_{1}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 18.1.1

对 $2 u_{1}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

解题步骤 18.1.2

因为 $2$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $2 u_{1}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 。

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

解题步骤 18.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 18.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 18.2

将下限代入替换 $u_{2} = 2 u_{1}$ 中的 $u_{1}$ 。

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2}$

解题步骤 18.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 18.3.1

约去公因数。

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2}$

解题步骤 18.3.2

重写表达式。

$u_{lower} = π$

解题步骤 18.4

将上限代入替换 $u_{2} = 2 u_{1}$ 中的 $u_{1}$ 。

$u_{upper} = 2 \frac{2 π}{3}$

解题步骤 18.5

乘以 $2 \frac{2 π}{3}$ 。

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解题步骤 18.5.1

组合 $2$ 和 $\frac{2 π}{3}$ 。

$u_{upper} = \frac{2 (2 π)}{3}$

解题步骤 18.5.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$u_{upper} = \frac{4 π}{3}$

解题步骤 18.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = \frac{4 π}{3}$

解题步骤 18.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \int_{π}^{\frac{4 π}{3}} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}) + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

解题步骤 19

组合 $\cos (u_{2})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \int_{π}^{\frac{4 π}{3}} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}) + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

解题步骤 20

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{1}{2} \int_{π}^{\frac{4 π}{3}} \cos (u_{2}) d u_{2}) + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

解题步骤 21

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\sin (u_{2})$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}) + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

解题步骤 22

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

解题步骤 23

应用常数不变法则。

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) + \frac{1}{4} u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

解题步骤 24

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $u_{1}$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

解题步骤 25

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u_{1}) d u_{1})$

解题步骤 26

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\sin (u_{1})$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{1}{2} \sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

解题步骤 27

化简。

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解题步骤 27.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}}$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}}}{2})$

解题步骤 27.2

要将 $\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}}}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

解题步骤 27.3

组合 $\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2})$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) \cdot 2}{2} + \frac{\sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}}}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

解题步骤 27.4

在公分母上合并分子。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) \cdot 2 + \sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}}}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

解题步骤 27.5

组合 $2$ 和 $\frac{1}{8}$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{2}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) + \sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}}}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

解题步骤 27.6

约去 $2$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 27.6.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{2 (1)}{8} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) + \sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}}}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

解题步骤 27.6.2

约去公因数。

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解题步骤 27.6.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) + \sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}}}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

解题步骤 27.6.2.2

约去公因数。

解题步骤 27.6.2.3

重写表达式。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (u_{1}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) + \sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}}}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

解题步骤 28

代入并化简。

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解题步骤 28.1

计算 $u_{1}$ 在 $\frac{2 π}{3}$ 处和在 $\frac{π}{2}$ 处的值。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} ((\frac{2 π}{3}) - \frac{π}{2} + \frac{\sin (u_{2})]_{π}^{\frac{4 π}{3}}}{2}) + \sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}}}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

解题步骤 28.2

计算 $\sin (u_{2})$ 在 $\frac{4 π}{3}$ 处和在 $π$ 处的值。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} ((\frac{2 π}{3}) - \frac{π}{2} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + \sin (u_{1})]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}}}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

解题步骤 28.3

计算 $\sin (u_{1})$ 在 $\frac{2 π}{3}$ 处和在 $\frac{π}{2}$ 处的值。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} ((\frac{2 π}{3}) - \frac{π}{2} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

解题步骤 28.4

计算 $\frac{u_{1}}{4}$ 在 $\frac{2 π}{3}$ 处和在 $\frac{π}{2}$ 处的值。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} ((\frac{2 π}{3}) - \frac{π}{2} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + (\frac{\frac{2 π}{3}}{4}) - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

解题步骤 28.5

化简。

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解题步骤 28.5.1

要将 $\frac{2 π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + (\frac{\frac{2 π}{3}}{4}) - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

解题步骤 28.5.2

要将 $- \frac{π}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + (\frac{\frac{2 π}{3}}{4}) - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

解题步骤 28.5.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 28.5.3.1

将 $\frac{2 π}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + (\frac{\frac{2 π}{3}}{4}) - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

解题步骤 28.5.3.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{2 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + (\frac{\frac{2 π}{3}}{4}) - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

解题步骤 28.5.3.3

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{2 π \cdot 2}{6} - \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + (\frac{\frac{2 π}{3}}{4}) - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

解题步骤 28.5.3.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{2 π \cdot 2}{6} - \frac{π \cdot 3}{6} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + (\frac{\frac{2 π}{3}}{4}) - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

解题步骤 28.5.4

在公分母上合并分子。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{2 π \cdot 2 - π \cdot 3}{6} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + (\frac{\frac{2 π}{3}}{4}) - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

解题步骤 28.5.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{4 π - π \cdot 3}{6} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + (\frac{\frac{2 π}{3}}{4}) - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

解题步骤 28.5.6

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{4 π - 3 π}{6} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + (\frac{\frac{2 π}{3}}{4}) - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

解题步骤 28.5.7

从 $4 π$ 中减去 $3 π$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{(\sin (\frac{4 π}{3})) - \sin (π)}{2}) + (\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + (\frac{\frac{2 π}{3}}{4}) - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

解题步骤 28.5.8

将 $\frac{\frac{2 π}{3}}{4}$ 重写为乘积形式。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{4} - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

解题步骤 28.5.9

将 $\frac{2 π}{3}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{2 π}{3 \cdot 4} - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

解题步骤 28.5.10

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{2 π}{12} - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

解题步骤 28.5.11

约去 $2$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 28.5.11.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{2 (π)}{12} - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

解题步骤 28.5.11.2

约去公因数。

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解题步骤 28.5.11.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{2 π}{2 \cdot 6} - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

解题步骤 28.5.11.2.2

约去公因数。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{2 π}{2 \cdot 6} - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

解题步骤 28.5.11.2.3

重写表达式。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π}{6} - \frac{\frac{π}{2}}{4})$

解题步骤 28.5.12

将 $\frac{\frac{π}{2}}{4}$ 重写为乘积形式。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π}{6} - (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}))$

解题步骤 28.5.13

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π}{6} - \frac{π}{2 \cdot 4})$

解题步骤 28.5.14

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π}{6} - \frac{π}{8})$

解题步骤 28.5.15

要将 $\frac{π}{6}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π}{6} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{8})$

解题步骤 28.5.16

要将 $- \frac{π}{8}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π}{6} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{8} \cdot \frac{3}{3})$

解题步骤 28.5.17

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $24$ 的形式。

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解题步骤 28.5.17.1

将 $\frac{π}{6}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π \cdot 4}{6 \cdot 4} - \frac{π}{8} \cdot \frac{3}{3})$

解题步骤 28.5.17.2

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π \cdot 4}{24} - \frac{π}{8} \cdot \frac{3}{3})$

解题步骤 28.5.17.3

将 $\frac{π}{8}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π \cdot 4}{24} - \frac{π \cdot 3}{8 \cdot 3})$

解题步骤 28.5.17.4

将 $8$ 乘以 $3$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π \cdot 4}{24} - \frac{π \cdot 3}{24})$

解题步骤 28.5.18

在公分母上合并分子。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π \cdot 4 - π \cdot 3}{24})$

解题步骤 28.5.19

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{4 \cdot π - π \cdot 3}{24})$

解题步骤 28.5.20

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{4 π - 3 π}{24})$

解题步骤 28.5.21

从 $4 π$ 中减去 $3 π$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{π}{24})$

解题步骤 29

化简。

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解题步骤 29.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1 \cdot 1}{2} + \frac{π}{24})$

解题步骤 29.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (π)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

解题步骤 30

化简。

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解题步骤 30.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - \sin (0)}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

解题步骤 30.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) - 0}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

解题步骤 30.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3}) + 0}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

解题步骤 30.4

将 $\sin (\frac{4 π}{3})$ 和 $0$ 相加。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{\sin (\frac{4 π}{3})}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

解题步骤 30.5

化简每一项。

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解题步骤 30.5.1

化简分子。

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解题步骤 30.5.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第三象限为负。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{- \sin (\frac{π}{3})}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

解题步骤 30.5.1.2

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} + \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

解题步骤 30.5.2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

解题步骤 30.5.3

乘以 $- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 30.5.3.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

解题步骤 30.5.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

解题步骤 30.6

运用分配律。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{6} + \frac{1}{4} (- \frac{\sqrt{3}}{4}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

解题步骤 30.7

乘以 $\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{6}$ 。

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解题步骤 30.7.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{π}{6}$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{4 \cdot 6} + \frac{1}{4} (- \frac{\sqrt{3}}{4}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

解题步骤 30.7.2

将 $4$ 乘以 $6$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{24} + \frac{1}{4} (- \frac{\sqrt{3}}{4}) + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

解题步骤 30.8

乘以 $\frac{1}{4} (- \frac{\sqrt{3}}{4})$ 。

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解题步骤 30.8.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{24} - \frac{\sqrt{3}}{4 \cdot 4} + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

解题步骤 30.8.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{24} - \frac{\sqrt{3}}{16} + \sin (\frac{2 π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

解题步骤 30.9

化简每一项。

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解题步骤 30.9.1

化简分子。

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解题步骤 30.9.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{24} - \frac{\sqrt{3}}{16} + \sin (\frac{π}{3}) - 1}{2} + \frac{π}{24})$

解题步骤 30.9.1.2

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{24} - \frac{\sqrt{3}}{16} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

解题步骤 30.9.1.3

要将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{24} - \frac{\sqrt{3}}{16} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{8}{8} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

解题步骤 30.9.1.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $16$ 的形式。

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解题步骤 30.9.1.4.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{24} - \frac{\sqrt{3}}{16} + \frac{\sqrt{3} \cdot 8}{2 \cdot 8} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

解题步骤 30.9.1.4.2

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{24} - \frac{\sqrt{3}}{16} + \frac{\sqrt{3} \cdot 8}{16} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

解题步骤 30.9.1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{24} + \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 8}{16} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

解题步骤 30.9.1.6

要将 $\frac{π}{24}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{24} \cdot \frac{2}{2} + \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 8}{16} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

解题步骤 30.9.1.7

要将 $\frac{- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 8}{16}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π}{24} \cdot \frac{2}{2} + \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 8}{16} \cdot \frac{3}{3} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

解题步骤 30.9.1.8

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $48$ 的形式。

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解题步骤 30.9.1.8.1

将 $\frac{π}{24}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π \cdot 2}{24 \cdot 2} + \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 8}{16} \cdot \frac{3}{3} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

解题步骤 30.9.1.8.2

将 $24$ 乘以 $2$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π \cdot 2}{48} + \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 8}{16} \cdot \frac{3}{3} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

解题步骤 30.9.1.8.3

将 $\frac{- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 8}{16}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π \cdot 2}{48} + \frac{(- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 8) \cdot 3}{16 \cdot 3} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

解题步骤 30.9.1.8.4

将 $16$ 乘以 $3$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π \cdot 2}{48} + \frac{(- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 8) \cdot 3}{48} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

解题步骤 30.9.1.9

在公分母上合并分子。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π \cdot 2 + (- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 8) \cdot 3}{48} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

解题步骤 30.9.1.10

重新排序 $\sqrt{3} \cdot 8$ 的因式。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π \cdot 2 + (- \sqrt{3} + 8 \sqrt{3}) \cdot 3}{48} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

解题步骤 30.9.1.11

将 $- \sqrt{3}$ 和 $8 \sqrt{3}$ 相加。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{π \cdot 2 + 7 \sqrt{3} \cdot 3}{48} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

解题步骤 30.9.1.12

化简分子。

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解题步骤 30.9.1.12.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{2 \cdot π + 7 \sqrt{3} \cdot 3}{48} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

解题步骤 30.9.1.12.2

将 $3$ 乘以 $7$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{2 π + 21 \sqrt{3}}{48} - 1}{2} + \frac{π}{24})$

解题步骤 30.9.1.13

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{48}{48}$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{2 π + 21 \sqrt{3}}{48} - 1 \cdot \frac{48}{48}}{2} + \frac{π}{24})$

解题步骤 30.9.1.14

组合 $- 1$ 和 $\frac{48}{48}$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{2 π + 21 \sqrt{3}}{48} + \frac{- 1 \cdot 48}{48}}{2} + \frac{π}{24})$

解题步骤 30.9.1.15

在公分母上合并分子。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 1 \cdot 48}{48}}{2} + \frac{π}{24})$

解题步骤 30.9.1.16

将 $- 1$ 乘以 $48$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{\frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48}{48}}{2} + \frac{π}{24})$

解题步骤 30.9.2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{81}{2} (\frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48}{48} \cdot \frac{1}{2} + \frac{π}{24})$

解题步骤 30.9.3

乘以 $\frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48}{48} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 30.9.3.1

将 $\frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48}{48}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48}{48 \cdot 2} + \frac{π}{24})$

解题步骤 30.9.3.2

将 $48$ 乘以 $2$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48}{96} + \frac{π}{24})$

解题步骤 30.10

要将 $\frac{π}{24}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48}{96} + \frac{π}{24} \cdot \frac{4}{4})$

解题步骤 30.11

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $96$ 的形式。

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解题步骤 30.11.1

将 $\frac{π}{24}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48}{96} + \frac{π \cdot 4}{24 \cdot 4})$

解题步骤 30.11.2

将 $24$ 乘以 $4$ 。

$\frac{81}{2} (\frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48}{96} + \frac{π \cdot 4}{96})$

解题步骤 30.12

在公分母上合并分子。

$\frac{81}{2} \cdot \frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48 + π \cdot 4}{96}$

解题步骤 30.13

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{81}{2} \cdot \frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48 + 4 \cdot π}{96}$

解题步骤 30.14

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 30.14.1

从 $81$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (27)}{2} \cdot \frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48 + 4 π}{96}$

解题步骤 30.14.2

从 $96$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 27}{2} \cdot \frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48 + 4 π}{3 \cdot 32}$

解题步骤 30.14.3

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 27}{2} \cdot \frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48 + 4 π}{3 \cdot 32}$

解题步骤 30.14.4

重写表达式。

$\frac{27}{2} \cdot \frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48 + 4 π}{32}$

解题步骤 30.15

将 $\frac{27}{2}$ 乘以 $\frac{2 π + 21 \sqrt{3} - 48 + 4 π}{32}$ 。

$\frac{27 (2 π + 21 \sqrt{3} - 48 + 4 π)}{2 \cdot 32}$

解题步骤 30.16

将 $2$ 乘以 $32$ 。

$\frac{27 (2 π + 21 \sqrt{3} - 48 + 4 π)}{64}$

解题步骤 30.17

将 $2 π$ 和 $4 π$ 相加。

$\frac{27 (6 π + 21 \sqrt{3} - 48)}{64}$

解题步骤 30.18

运用分配律。

$\frac{27 (6 π) + 27 (21 \sqrt{3}) + 27 \cdot - 48}{64}$

解题步骤 30.19

化简。

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解题步骤 30.19.1

将 $6$ 乘以 $27$ 。

$\frac{162 π + 27 (21 \sqrt{3}) + 27 \cdot - 48}{64}$

解题步骤 30.19.2

将 $21$ 乘以 $27$ 。

$\frac{162 π + 567 \sqrt{3} + 27 \cdot - 48}{64}$

解题步骤 30.19.3

将 $27$ 乘以 $- 48$ 。

$\frac{162 π + 567 \sqrt{3} - 1296}{64}$

解题步骤 31

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{162 π + 567 \sqrt{3} - 1296}{64}$

小数形式：

$3.04704402 \dots$

解题步骤 32

微积分学 示例

微积分学示例