微积分学示例

$\sum_{n = 4}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{1}{\sqrt{n}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

解题步骤 1.2

合并和化简分母。

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解题步骤 1.2.1

将 $\frac{1}{\sqrt{n}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}}$ 。

$\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n} \sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

解题步骤 1.2.2

对 $\sqrt{n}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{n}}{{\sqrt{n}}^{1} \sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

解题步骤 1.2.3

对 $\sqrt{n}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{n}}{{\sqrt{n}}^{1} {\sqrt{n}}^{1}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

解题步骤 1.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{n}}{{\sqrt{n}}^{1 + 1}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

解题步骤 1.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{n}}{{\sqrt{n}}^{2}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

解题步骤 1.2.6

将 ${\sqrt{n}}^{2}$ 重写为 $n$ 。

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解题步骤 1.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{n}$ 重写成 $n^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{n}}{{(n^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

解题步骤 1.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{n}}{n^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

解题步骤 1.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{n}}{n^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

解题步骤 1.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.6.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{n}}{n^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

解题步骤 1.2.6.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{n}}{n^{1}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

解题步骤 1.2.6.5

化简。

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

解题步骤 1.3

将 $\frac{1}{\sqrt{n + 1}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{n + 1}}{\sqrt{n + 1}}$ 。

$\frac{\sqrt{n}}{n} - (\frac{1}{\sqrt{n + 1}} \cdot \frac{\sqrt{n + 1}}{\sqrt{n + 1}})$

解题步骤 1.4

合并和化简分母。

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解题步骤 1.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{n + 1}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{n + 1}}{\sqrt{n + 1}}$ 。

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{\sqrt{n + 1} \sqrt{n + 1}}$

解题步骤 1.4.2

对 $\sqrt{n + 1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{\sqrt{n + 1}}^{1} \sqrt{n + 1}}$

解题步骤 1.4.3

对 $\sqrt{n + 1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{\sqrt{n + 1}}^{1} {\sqrt{n + 1}}^{1}}$

解题步骤 1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{\sqrt{n + 1}}^{1 + 1}}$

解题步骤 1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{\sqrt{n + 1}}^{2}}$

解题步骤 1.4.6

将 ${\sqrt{n + 1}}^{2}$ 重写为 $n + 1$ 。

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解题步骤 1.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{n + 1}$ 重写成 ${(n + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{({(n + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{(n + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{(n + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.6.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{(n + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.4.6.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{(n + 1)}^{1}}$

解题步骤 1.4.6.5

化简。

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{n + 1}$

解题步骤 2

要将 $\frac{\sqrt{n}}{n}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{n + 1}{n + 1}$ 。

$\frac{\sqrt{n}}{n} \cdot \frac{n + 1}{n + 1} - \frac{\sqrt{n + 1}}{n + 1}$

解题步骤 3

要将 $- \frac{\sqrt{n + 1}}{n + 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{n}{n}$ 。

$\frac{\sqrt{n}}{n} \cdot \frac{n + 1}{n + 1} - \frac{\sqrt{n + 1}}{n + 1} \cdot \frac{n}{n}$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $n (n + 1)$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{\sqrt{n}}{n}$ 乘以 $\frac{n + 1}{n + 1}$ 。

$\frac{\sqrt{n} (n + 1)}{n (n + 1)} - \frac{\sqrt{n + 1}}{n + 1} \cdot \frac{n}{n}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{\sqrt{n + 1}}{n + 1}$ 乘以 $\frac{n}{n}$ 。

$\frac{\sqrt{n} (n + 1)}{n (n + 1)} - \frac{\sqrt{n + 1} n}{(n + 1) n}$

解题步骤 4.3

重新排序 $(n + 1) n$ 的因式。

$\frac{\sqrt{n} (n + 1)}{n (n + 1)} - \frac{\sqrt{n + 1} n}{n (n + 1)}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{n} (n + 1) - \sqrt{n + 1} n}{n (n + 1)}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{n}$ 重写成 $n^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (n + 1) - \sqrt{n + 1} n}{n (n + 1)}$

解题步骤 6.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{n + 1}$ 重写成 ${(n + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (n + 1) - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$\frac{n^{\frac{1}{2}} n + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

解题步骤 6.4

通过指数相加将 $n^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $n$ 。

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解题步骤 6.4.1

将 $n^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $n$ 。

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解题步骤 6.4.1.1

对 $n$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{n^{\frac{1}{2}} n^{1} + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

解题步骤 6.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{n^{\frac{1}{2} + 1} + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

解题步骤 6.4.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{n^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

解题步骤 6.4.3

在公分母上合并分子。

$\frac{n^{\frac{1 + 2}{2}} + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

解题步骤 6.4.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{n^{\frac{3}{2}} + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

解题步骤 6.5

将 $n^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{n^{\frac{3}{2}} + n^{\frac{1}{2}} - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

解题步骤 6.6

重新排序项。

$\frac{- n {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{3}{2}} + n^{\frac{1}{2}}}{n (n + 1)}$

解题步骤 6.7

以因式分解的形式重写 $- n {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{3}{2}} + n^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 6.7.1

从 $- n {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{3}{2}} + n^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $n^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 6.7.1.1

从 $- n {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $n^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}) + n^{\frac{3}{2}} + n^{\frac{1}{2}}}{n (n + 1)}$

解题步骤 6.7.1.2

从 $n^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $n^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}) + n^{\frac{1}{2}} n^{\frac{2}{2}} + n^{\frac{1}{2}}}{n (n + 1)}$

解题步骤 6.7.1.3

乘以 $1$ 。

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}) + n^{\frac{1}{2}} n^{\frac{2}{2}} + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{n (n + 1)}$

解题步骤 6.7.1.4

从 $n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}) + n^{\frac{1}{2}} n^{\frac{2}{2}}$ 中分解出因数 $n^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{2}{2}}) + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{n (n + 1)}$

解题步骤 6.7.1.5

从 $n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{2}{2}}) + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1$ 中分解出因数 $n^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{2}{2}} + 1)}{n (n + 1)}$

解题步骤 6.7.2

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n^{1} + 1)}{n (n + 1)}$

解题步骤 6.7.3

化简。

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1)}{n (n + 1)}$

解题步骤 7

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $n^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1}{n (n + 1) n^{- \frac{1}{2}}}$

解题步骤 8

通过指数相加将 $n$ 乘以 $n^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 8.1

移动 $n^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1}{n^{- \frac{1}{2}} n (n + 1)}$

解题步骤 8.2

将 $n^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $n$ 。

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解题步骤 8.2.1

对 $n$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1}{n^{- \frac{1}{2}} n^{1} (n + 1)}$

解题步骤 8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1}{n^{- \frac{1}{2} + 1} (n + 1)}$

解题步骤 8.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1}{n^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (n + 1)}$

解题步骤 8.4

在公分母上合并分子。

$\frac{- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1}{n^{\frac{- 1 + 2}{2}} (n + 1)}$

解题步骤 8.5

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

解题步骤 9

从 $- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}) + n + 1}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

解题步骤 10

从 $n$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 1 (- n) + 1}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

解题步骤 11

从 $- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 1 (- n)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n) + 1}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

解题步骤 12

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n) - 1 (- 1)}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

解题步骤 13

从 $- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n - 1)}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

解题步骤 14

将 $- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n - 1)$ 重写为 $- 1 (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n - 1)$ 。

$\frac{- 1 (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n - 1)}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

解题步骤 15

将负号移到分数的前面。

$- \frac{n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n - 1}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

解题步骤 16

重写该总和。

$\sum_{n = 4}^{\infty} - \frac{n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n - 1}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

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