微积分学示例

$y = \ln (e^{- x} + x e^{- x})$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (e^{- x} + x e^{- x}))$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = e^{- x} + x e^{- x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $e^{- x} + x e^{- x}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{- x} + x e^{- x}]$

解题步骤 3.1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{- x} + x e^{- x}]$

解题步骤 3.1.3

使用 $e^{- x} + x e^{- x}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} \frac{d}{d x} [e^{- x} + x e^{- x}]$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $e^{- x} + x e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ 。

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- x$ 。

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

解题步骤 3.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

解题步骤 3.3.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

解题步骤 3.4

求微分。

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解题步骤 3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

解题步骤 3.4.3

化简表达式。

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解题步骤 3.4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

解题步骤 3.4.3.2

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- 1 \cdot e^{- x} + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

解题步骤 3.4.3.3

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

解题步骤 3.5

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{- x}$ 。

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 3.6.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $- x$ 。

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.6.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ 等于 $a^{u_{3}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.6.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.7

求微分。

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解题步骤 3.7.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.7.3

化简表达式。

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解题步骤 3.7.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.7.3.2

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.7.3.3

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.7.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1)$

解题步骤 3.7.5

化简项。

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解题步骤 3.7.5.1

将 $e^{- x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (- e^{- x}) + e^{- x})$

解题步骤 3.7.5.2

将 $- e^{- x}$ 和 $e^{- x}$ 相加。

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (x (- e^{- x}) + 0)$

解题步骤 3.7.5.3

将 $x (- e^{- x})$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (x (- e^{- x}))$

解题步骤 3.7.5.4

组合 $x$ 和 $\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}}$ 。

$\frac{x}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x})$

解题步骤 3.7.5.5

组合 $\frac{x}{e^{- x} + x e^{- x}}$ 和 $e^{- x}$ 。

$- \frac{x e^{- x}}{e^{- x} + x e^{- x}}$

解题步骤 3.8

化简。

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解题步骤 3.8.1

从 $e^{- x} + x e^{- x}$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

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解题步骤 3.8.1.1

乘以 $1$ 。

$- \frac{x e^{- x}}{e^{- x} \cdot 1 + x e^{- x}}$

解题步骤 3.8.1.2

从 $x e^{- x}$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

$- \frac{x e^{- x}}{e^{- x} \cdot 1 + e^{- x} x}$

解题步骤 3.8.1.3

从 $e^{- x} \cdot 1 + e^{- x} x$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

$- \frac{x e^{- x}}{e^{- x} (1 + x)}$

解题步骤 3.8.2

约去 $e^{- x}$ 的公因数。

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解题步骤 3.8.2.1

约去公因数。

$- \frac{x e^{- x}}{e^{- x} (1 + x)}$

解题步骤 3.8.2.2

重写表达式。

$- \frac{x}{1 + x}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - \frac{x}{1 + x}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x}$

微积分学 示例

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