微积分学示例

$\int_{2}^{8} \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

解题步骤 1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\int_{2}^{8} \frac{1}{\sqrt{{(x^{2} - 1)}^{3}}} d x$

解题步骤 2

使 $x = \sec (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\sec (t) \tan (t)$ 为正数。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{2} (t) - 1)}^{3}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

化简 $\sqrt{{(\sec^{2} (t) - 1)}^{3}}$ 。

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解题步骤 3.1.1

使用勾股恒等式。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{2} (t))}^{3}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 3.1.2

将 ${(\tan^{2} (t))}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\sqrt{{\tan (t)}^{2 \cdot 3}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 3.1.2.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\sqrt{\tan^{6} (t)}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 3.1.3

将 $\tan^{6} (t)$ 重写为 ${(\tan^{3} (t))}^{2}$ 。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{3} (t))}^{2}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 3.1.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\tan^{3} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 3.2

化简项。

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解题步骤 3.2.1

约去 $\tan (t)$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1

从 $\tan^{3} (t)$ 中分解出因数 $\tan (t)$ 。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\tan (t) \tan^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 3.2.1.2

从 $\sec (t) \tan (t)$ 中分解出因数 $\tan (t)$ 。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\tan (t) \tan^{2} (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

解题步骤 3.2.1.3

约去公因数。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\tan (t) \tan^{2} (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

解题步骤 3.2.1.4

重写表达式。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\tan^{2} (t)} \sec (t) d t$

解题步骤 3.2.2

组合 $\frac{1}{\tan^{2} (t)}$ 和 $\sec (t)$ 。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $\sec (x)$ 重写为 $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ 。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{\tan^{2} (t)} d t$

解题步骤 4.2

使用倒数恒等式。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

解题步骤 4.3

化简。

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解题步骤 4.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\cot (t)} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

解题步骤 4.3.2

合并。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t) \cdot 1}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

解题步骤 4.3.3

将 $\csc (t)$ 乘以 $1$ 。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

解题步骤 4.3.4

化简分母。

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解题步骤 4.3.4.1

对 $\frac{1}{\cot (t)}$ 运用乘积法则。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1^{2}}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

解题步骤 4.3.4.2

一的任意次幂都为一。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

解题步骤 4.3.5

组合 $\cot (t)$ 和 $\frac{1}{{\cot (t)}^{2}}$ 。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

解题步骤 4.3.6

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}$ 。

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解题步骤 4.3.6.1

乘以 $1$ 。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

解题步骤 4.3.6.2

从 ${\cot (t)}^{2}$ 中分解出因数 $\cot (t)$ 。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

解题步骤 4.3.6.3

约去公因数。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

解题步骤 4.3.6.4

重写表达式。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\frac{1}{\cot (t)}} d t$

解题步骤 4.3.7

将分子乘以分母的倒数。

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \csc (t) \cot (t) d t$

解题步骤 5

因为 $- \csc (t)$ 的导数为 $\csc (t) \cot (t)$ ，所以 $\csc (t) \cot (t)$ 的积分为 $- \csc (t)$ 。

$- \csc (t)]_{\frac{π}{3}}^{1.44546849}$

解题步骤 6

计算 $- \csc (t)$ 在 $1.44546849$ 处和在 $\frac{π}{3}$ 处的值。

$- \csc (1.44546849) + \csc (\frac{π}{3})$

解题步骤 7

$\csc (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 。

$- \csc (1.44546849) + \frac{2}{\sqrt{3}}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$- \csc (1.44546849) + \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 8.2

合并和化简分母。

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解题步骤 8.2.1

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 8.2.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 8.2.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 8.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 8.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 8.2.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 8.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 8.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 8.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.6.4.1

约去公因数。

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.2.6.4.2

重写表达式。

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 8.2.6.5

计算指数。

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

小数形式：

$0.14679527 \dots$

解题步骤 10

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