微积分学示例

$lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{x^{2}}$

解题步骤 1

合并项。

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解题步骤 1.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x}{x} + \frac{1}{x})}^{x^{2}}$

解题步骤 1.2

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x + 1}{x})}^{x^{2}}$

解题步骤 2

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 2.1

将 ${(\frac{x + 1}{x})}^{x^{2}}$ 重写为 $e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x^{2}})}$ 。

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x^{2}})}$

解题步骤 2.2

通过将 $x^{2}$ 移到对数外来展开 $\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x^{2}})$ 。

$lim_{x \to \infty} e^{x^{2} \ln (\frac{x + 1}{x})}$

解题步骤 3

因为指数 $x^{2} \ln (\frac{x + 1}{x})$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{x^{2} \ln (\frac{x + 1}{x})}$ 趋于 $\infty$ 。

$\infty$

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