微积分学示例

$4 \sqrt{y} - y = 2 x$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$4 y^{\frac{1}{2}} - y = 2 x$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (4 y^{\frac{1}{2}} - y) = \frac{d}{d x} (2 x)$

解题步骤 3

对方程左边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $4 y^{\frac{1}{2}} - y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- y]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 y^{\frac{1}{2}}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 y^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 3.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 3.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$4 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 3.2.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 3.2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 3.2.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 3.2.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 3.2.6

在公分母上合并分子。

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 3.2.7

化简分子。

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解题步骤 3.2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 3.2.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 3.2.8

将负号移到分数的前面。

$4 (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 3.2.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{- \frac{1}{2}}$ 。

$4 (\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 3.2.10

组合 $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $y'$ 。

$4 \frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2} + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 3.2.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $y^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$4 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 3.2.12

组合 $4$ 和 $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{4 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 3.2.13

从 $4 y'$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 y')}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 3.2.14

约去公因数。

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解题步骤 3.2.14.1

从 $2 y^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 y')}{2 (y^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 3.2.14.2

约去公因数。

$\frac{2 (2 y')}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 3.2.14.3

重写表达式。

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- y]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- y$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [y]$ 。

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.3.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 4.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - y' = 2$

解题步骤 6

求解 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 6.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 6.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$y^{\frac{1}{2}}, 1, 1$

解题步骤 6.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$y^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.2

将 $\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - y' = 2$ 中的每一项乘以 $y^{\frac{1}{2}}$ 以消去分数。

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解题步骤 6.2.1

将 $\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - y' = 2$ 中的每一项乘以 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} - y' y^{\frac{1}{2}} = 2 y^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.1

约去 $y^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} - y' y^{\frac{1}{2}} = 2 y^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.2.2.1.2

重写表达式。

$2 y' - y' y^{\frac{1}{2}} = 2 y^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3

求解方程。

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解题步骤 6.3.1

求每项中都有的公因数 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} - y' y^{\frac{1}{2}} - 2 y^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3.2

代入 $u$ 替换 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} - y' u - 2 u = 0$

解题步骤 6.3.3

求解 $u$ 。

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解题步骤 6.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.3.1.1

将 ${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.3.3.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - y' u - 2 u = 0$

解题步骤 6.3.3.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.3.1.1.2.1

约去公因数。

$2 {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - y' u - 2 u = 0$

解题步骤 6.3.3.1.1.2.2

重写表达式。

$2 {y'}^{1} - y' u - 2 u = 0$

解题步骤 6.3.3.1.2

化简。

$2 y' - y' u - 2 u = 0$

解题步骤 6.3.3.2

从等式两边同时减去 $2 y'$ 。

$- y' u - 2 u = - 2 y'$

解题步骤 6.3.3.3

从 $- y' u - 2 u$ 中分解出因数 $u$ 。

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解题步骤 6.3.3.3.1

从 $- y' u$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (- y') - 2 u = - 2 y'$

解题步骤 6.3.3.3.2

从 $- 2 u$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (- y') + u \cdot - 2 = - 2 y'$

解题步骤 6.3.3.3.3

从 $u (- y') + u \cdot - 2$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (- y' - 2) = - 2 y'$

解题步骤 6.3.3.4

将 $u (- y' - 2) = - 2 y'$ 中的每一项除以 $- y' - 2$ 并化简。

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解题步骤 6.3.3.4.1

将 $u (- y' - 2) = - 2 y'$ 中的每一项都除以 $- y' - 2$ 。

$\frac{u (- y' - 2)}{- y' - 2} = \frac{- 2 y'}{- y' - 2}$

解题步骤 6.3.3.4.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.3.4.2.1

约去 $- y' - 2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.3.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{u (- y' - 2)}{- y' - 2} = \frac{- 2 y'}{- y' - 2}$

解题步骤 6.3.3.4.2.1.2

用 $u$ 除以 $1$ 。

$u = \frac{- 2 y'}{- y' - 2}$

解题步骤 6.3.3.4.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.4.3.1

将负号移到分数的前面。

$u = - \frac{2 y'}{- y' - 2}$

解题步骤 6.3.3.4.3.2

从 $- y'$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$u = - \frac{2 y'}{- y' - 2}$

解题步骤 6.3.3.4.3.3

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$u = - \frac{2 y'}{- y' - 1 (2)}$

解题步骤 6.3.3.4.3.4

从 $- y' - 1 (2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$u = - \frac{2 y'}{- (y' + 2)}$

解题步骤 6.3.3.4.3.5

化简表达式。

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解题步骤 6.3.3.4.3.5.1

将 $- (y' + 2)$ 重写为 $- 1 (y' + 2)$ 。

$u = - \frac{2 y'}{- 1 (y' + 2)}$

解题步骤 6.3.3.4.3.5.2

将负号移到分数的前面。

$u = - - \frac{2 y'}{y' + 2}$

解题步骤 6.3.3.4.3.5.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$u = 1 \frac{2 y'}{y' + 2}$

解题步骤 6.3.3.4.3.5.4

将 $\frac{2 y'}{y' + 2}$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{2 y'}{y' + 2}$

解题步骤 6.3.4

代入 $y'$ 替换 $u$ 。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 y'}{y' + 2}$

解题步骤 7

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y'}{y' + 2}$

微积分学 示例

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