微积分学示例

$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 1

将积分表示为 $t$ 趋于 $\infty$ 时的极限。

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

解题步骤 3

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\arctan (x)]_{0}^{t}$ 。

$lim_{t \to \infty} \arctan (x)]_{0}^{t}$

解题步骤 4

计算 $\arctan (x)$ 在 $t$ 处和在 $0$ 处的值。

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

当 $t$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (0)$

解题步骤 5.2

当 $t$ 趋于 $\infty$ 时，极限为 $\frac{π}{2}$ 。

$\frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (0)$

解题步骤 5.3

计算 $\arctan (0)$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{π}{2} - \arctan (0)$

解题步骤 5.4

化简答案。

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解题步骤 5.4.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.1.1

$\arctan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{π}{2} - 0$

解题步骤 5.4.1.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{π}{2} + 0$

解题步骤 5.4.2

将 $\frac{π}{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{π}{2}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{π}{2}$

小数形式：

$1.57079632 \dots$

微积分学 示例