微积分学示例

$- \frac{y}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = - 1$ 且 $g (y) = \frac{y}{x^{2} + y^{2}}$ 。

$- \frac{d}{d y} [\frac{y}{x^{2} + y^{2}}] + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ 等于 $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ，其中 $f (y) = y$ 且 $g (y) = x^{2} + y^{2}$ 。

$- \frac{(x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{(x^{2} + y^{2}) \cdot 1 - y \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 3.2

将 $x^{2} + y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{x^{2} + y^{2} - y \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $x^{2} + y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$- \frac{x^{2} + y^{2} - y (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 3.4

因为 $x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x^{2}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{x^{2} + y^{2} - y (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 3.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ 相加。

$- \frac{x^{2} + y^{2} - y \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{x^{2} + y^{2} - y (2 y)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 3.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{x^{2} + y^{2} - 2 y \cdot y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 4

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{x^{2} + y^{2} - 2 (y^{1} y)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 5

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{x^{2} + y^{2} - 2 (y^{1} y^{1})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{x^{2} + y^{2} - 2 y^{1 + 1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 7

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 7.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{x^{2} + y^{2} - 2 y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 7.2

从 $y^{2}$ 中减去 $2 y^{2}$ 。

$- \frac{x^{2} - y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 8

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{x^{2} - y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \cdot 0$

解题步骤 9

化简表达式。

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解题步骤 9.1

将 $\frac{y}{x^{2} + y^{2}}$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{x^{2} - y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + 0$

解题步骤 9.2

将 $- \frac{x^{2} - y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{x^{2} - y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

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