微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin^{5} (x) d x$

解题步骤 1

因式分解出 $\sin^{4} (x)$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin^{4} (x) \sin (x) d x$

解题步骤 2

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sin (x)}^{2 (2)} \sin (x) d x$

解题步骤 2.2

将 ${\sin (x)}^{2 (2)}$ 重写为乘方形式。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\sin^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

解题步骤 3

使用勾股定理，将 $\sin^{2} (x)$ 重写成 $1 - \cos^{2} (x)$ 的形式。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(1 - \cos^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

解题步骤 4

使 $u = \cos (x)$ 。然后使 $d u = - \sin (x) d x$ ，以便 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u = \cos (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $\cos (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 4.1.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- \sin (x)$

解题步骤 4.2

将下限代入替换 $u = \cos (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \cos (0)$

解题步骤 4.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 4.4

将上限代入替换 $u = \cos (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 4.5

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$u_{upper} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} - {(1 - u^{2})}^{2} d u$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

解题步骤 6

展开 ${(1 - u^{2})}^{2}$ 。

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解题步骤 6.1

将 ${(1 - u^{2})}^{2}$ 重写为 $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ 。

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

解题步骤 6.4

运用分配律。

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

解题步骤 6.5

移动 $u^{2}$ 。

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

解题步骤 6.6

移动 $u^{2}$ 。

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 6.7

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 6.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 6.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 6.10

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 6.11

将 $u^{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 6.12

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

解题步骤 6.13

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

解题步骤 6.14

从 $- u^{2}$ 中减去 $u^{2}$ 。

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

解题步骤 6.15

将 $- 2 u^{2}$ 和 $u^{4}$ 重新排序。

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

解题步骤 6.16

移动 $1$ 。

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$- (\int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} u^{4} d u + \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} - 2 u^{2} d u + \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} d u)$

解题步骤 8

根据幂法则， $u^{4}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{5} u^{5}$ 。

$- (\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} + \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} - 2 u^{2} d u + \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} d u)$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $u^{5}$ 。

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} + \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} - 2 u^{2} d u + \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} d u)$

解题步骤 10

由于 $- 2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} - 2 \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} u^{2} d u + \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} d u)$

解题步骤 11

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} - 2 (\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}) + \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} d u)$

解题步骤 12

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $u^{3}$ 。

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}) + \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} d u)$

解题步骤 13

应用常数不变法则。

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}) + u]_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

解题步骤 14

组合 $\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ 和 $u]_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ 。

$- (\frac{u^{5}}{5} + u]_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}))$

解题步骤 15

代入并化简。

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解题步骤 15.1

计算 $\frac{u^{5}}{5} + u$ 在 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 处和在 $1$ 处的值。

$- ((\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2}) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}))$

解题步骤 15.2

计算 $\frac{u^{3}}{3}$ 在 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 处和在 $1$ 处的值。

$- ((\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2}) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

解题步骤 15.3

化简。

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解题步骤 15.3.1

一的任意次幂都为一。

$- (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\frac{1}{5} + 1) - 2 ((\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

解题步骤 15.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\frac{1}{5} + \frac{5}{5}) - 2 ((\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

解题步骤 15.3.3

在公分母上合并分子。

$- (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1 + 5}{5} - 2 ((\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

解题步骤 15.3.4

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$- (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6}{5} - 2 ((\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

解题步骤 15.3.5

一的任意次幂都为一。

$- (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6}{5} - 2 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}))$

解题步骤 15.3.6

要将 $- 2 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$- (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}}{5} - 2 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot \frac{5}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6}{5})$

解题步骤 15.3.7

组合 $- 2 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3})$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$- (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}}{5} + \frac{- 2 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot 5}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6}{5})$

解题步骤 15.3.8

在公分母上合并分子。

$- (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5} - 2 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot 5}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6}{5})$

解题步骤 15.3.9

将 $5$ 乘以 $- 2$ 。

$- (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5} - 10 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6}{5})$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

在公分母上合并分子。

$- (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5} - 10 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.2

化简每一项。

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解题步骤 16.2.1

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$- (\frac{\frac{{\sqrt{2}}^{5}}{2^{5}} - 10 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.2.2

化简分子。

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解题步骤 16.2.2.1

将 ${\sqrt{2}}^{5}$ 重写为 $\sqrt{2^{5}}$ 。

$- (\frac{\frac{\sqrt{2^{5}}}{2^{5}} - 10 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.2.2.2

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$- (\frac{\frac{\sqrt{32}}{2^{5}} - 10 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.2.2.3

将 $32$ 重写为 $4^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 16.2.2.3.1

从 $32$ 中分解出因数 $16$ 。

$- (\frac{\frac{\sqrt{16 (2)}}{2^{5}} - 10 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.2.2.3.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$- (\frac{\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2^{5}} - 10 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.2.2.4

从根式下提出各项。

$- (\frac{\frac{4 \sqrt{2}}{2^{5}} - 10 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.2.3

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$- (\frac{\frac{4 \sqrt{2}}{32} - 10 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.2.4

约去 $4$ 和 $32$ 的公因数。

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解题步骤 16.2.4.1

从 $4 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$- (\frac{\frac{4 (\sqrt{2})}{32} - 10 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 16.2.4.2.1

从 $32$ 中分解出因数 $4$ 。

$- (\frac{\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 8} - 10 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.2.4.2.2

约去公因数。

$- (\frac{\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 8} - 10 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.2.4.2.3

重写表达式。

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} - 10 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.2.5

化简每一项。

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解题步骤 16.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 16.2.5.1.1

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} - 10 (\frac{\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.2.5.1.2

化简分子。

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解题步骤 16.2.5.1.2.1

将 ${\sqrt{2}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{2^{3}}$ 。

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} - 10 (\frac{\frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}}}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.2.5.1.2.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} - 10 (\frac{\frac{\sqrt{8}}{2^{3}}}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.2.5.1.2.3

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 16.2.5.1.2.3.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} - 10 (\frac{\frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}}}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.2.5.1.2.3.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} - 10 (\frac{\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}}}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.2.5.1.2.4

从根式下提出各项。

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} - 10 (\frac{\frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}}}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.2.5.1.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} - 10 (\frac{\frac{2 \sqrt{2}}{8}}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.2.5.1.4

约去 $2$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 16.2.5.1.4.1

从 $2 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} - 10 (\frac{\frac{2 (\sqrt{2})}{8}}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.2.5.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 16.2.5.1.4.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} - 10 (\frac{\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.2.5.1.4.2.2

约去公因数。

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} - 10 (\frac{\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.2.5.1.4.2.3

重写表达式。

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} - 10 (\frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.2.5.2

将分子乘以分母的倒数。

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} - 10 (\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.2.5.3

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 16.2.5.3.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} - 10 (\frac{\sqrt{2}}{4 \cdot 3} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.2.5.3.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} - 10 (\frac{\sqrt{2}}{12} - \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.2.6

运用分配律。

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} - 10 \frac{\sqrt{2}}{12} - 10 (- \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.2.7

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 16.2.7.1

从 $- 10$ 中分解出因数 $2$ 。

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} + 2 (- 5) \frac{\sqrt{2}}{12} - 10 (- \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.2.7.2

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} + 2 \cdot - 5 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 6} - 10 (- \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.2.7.3

约去公因数。

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} + 2 \cdot - 5 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 6} - 10 (- \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.2.7.4

重写表达式。

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} - 5 \frac{\sqrt{2}}{6} - 10 (- \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.2.8

组合 $- 5$ 和 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ 。

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} + \frac{- 5 \sqrt{2}}{6} - 10 (- \frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.2.9

乘以 $- 10 (- \frac{1}{3})$ 。

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解题步骤 16.2.9.1

将 $- 1$ 乘以 $- 10$ 。

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} + \frac{- 5 \sqrt{2}}{6} + 10 (\frac{1}{3}) - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.2.9.2

组合 $10$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} + \frac{- 5 \sqrt{2}}{6} + \frac{10}{3} - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.2.10

将负号移到分数的前面。

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} - \frac{5 \sqrt{2}}{6} + \frac{10}{3} - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.3

要将 $\frac{\sqrt{2}}{8}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} \cdot \frac{3}{3} - \frac{5 \sqrt{2}}{6} + \frac{10}{3} - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.4

要将 $- \frac{5 \sqrt{2}}{6}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$- (\frac{\frac{\sqrt{2}}{8} \cdot \frac{3}{3} - \frac{5 \sqrt{2}}{6} \cdot \frac{4}{4} + \frac{10}{3} - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.5

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $24$ 的形式。

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解题步骤 16.5.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{8}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- (\frac{\frac{\sqrt{2} \cdot 3}{8 \cdot 3} - \frac{5 \sqrt{2}}{6} \cdot \frac{4}{4} + \frac{10}{3} - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.5.2

将 $8$ 乘以 $3$ 。

$- (\frac{\frac{\sqrt{2} \cdot 3}{24} - \frac{5 \sqrt{2}}{6} \cdot \frac{4}{4} + \frac{10}{3} - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.5.3

将 $\frac{5 \sqrt{2}}{6}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$- (\frac{\frac{\sqrt{2} \cdot 3}{24} - \frac{5 \sqrt{2} \cdot 4}{6 \cdot 4} + \frac{10}{3} - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.5.4

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$- (\frac{\frac{\sqrt{2} \cdot 3}{24} - \frac{5 \sqrt{2} \cdot 4}{24} + \frac{10}{3} - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.6

在公分母上合并分子。

$- (\frac{\frac{\sqrt{2} \cdot 3 - 5 \sqrt{2} \cdot 4}{24} + \frac{10}{3} - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.7

求公分母。

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解题步骤 16.7.1

将 $\frac{10}{3}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$- (\frac{\frac{\sqrt{2} \cdot 3 - 5 \sqrt{2} \cdot 4}{24} + \frac{10}{3} \cdot \frac{8}{8} - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.7.2

将 $\frac{10}{3}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$- (\frac{\frac{\sqrt{2} \cdot 3 - 5 \sqrt{2} \cdot 4}{24} + \frac{10 \cdot 8}{3 \cdot 8} - 6}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.7.3

将 $- 6$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$- (\frac{\frac{\sqrt{2} \cdot 3 - 5 \sqrt{2} \cdot 4}{24} + \frac{10 \cdot 8}{3 \cdot 8} + \frac{- 6}{1}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.7.4

将 $\frac{- 6}{1}$ 乘以 $\frac{24}{24}$ 。

$- (\frac{\frac{\sqrt{2} \cdot 3 - 5 \sqrt{2} \cdot 4}{24} + \frac{10 \cdot 8}{3 \cdot 8} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{24}{24}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.7.5

将 $\frac{- 6}{1}$ 乘以 $\frac{24}{24}$ 。

$- (\frac{\frac{\sqrt{2} \cdot 3 - 5 \sqrt{2} \cdot 4}{24} + \frac{10 \cdot 8}{3 \cdot 8} + \frac{- 6 \cdot 24}{24}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.7.6

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$- (\frac{\frac{\sqrt{2} \cdot 3 - 5 \sqrt{2} \cdot 4}{24} + \frac{10 \cdot 8}{24} + \frac{- 6 \cdot 24}{24}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.8

在公分母上合并分子。

$- (\frac{\frac{\sqrt{2} \cdot 3 - 5 \sqrt{2} \cdot 4 + 10 \cdot 8 - 6 \cdot 24}{24}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.9

化简每一项。

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解题步骤 16.9.1

将 $3$ 移到 $\sqrt{2}$ 的左侧。

$- (\frac{\frac{3 \cdot \sqrt{2} - 5 \sqrt{2} \cdot 4 + 10 \cdot 8 - 6 \cdot 24}{24}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.9.2

将 $4$ 乘以 $- 5$ 。

$- (\frac{\frac{3 \sqrt{2} - 20 \sqrt{2} + 10 \cdot 8 - 6 \cdot 24}{24}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.9.3

将 $10$ 乘以 $8$ 。

$- (\frac{\frac{3 \sqrt{2} - 20 \sqrt{2} + 80 - 6 \cdot 24}{24}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.9.4

将 $- 6$ 乘以 $24$ 。

$- (\frac{\frac{3 \sqrt{2} - 20 \sqrt{2} + 80 - 144}{24}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.10

从 $3 \sqrt{2}$ 中减去 $20 \sqrt{2}$ 。

$- (\frac{\frac{- 17 \sqrt{2} + 80 - 144}{24}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.11

从 $80$ 中减去 $144$ 。

$- (\frac{\frac{- 17 \sqrt{2} - 64}{24}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.12

从 $- 17 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (\frac{\frac{- (17 \sqrt{2}) - 64}{24}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.13

将 $- 64$ 重写为 $- 1 (64)$ 。

$- (\frac{\frac{- (17 \sqrt{2}) - 1 (64)}{24}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.14

从 $- (17 \sqrt{2}) - 1 (64)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (\frac{\frac{- (17 \sqrt{2} + 64)}{24}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.15

将 $- (17 \sqrt{2} + 64)$ 重写为 $- 1 (17 \sqrt{2} + 64)$ 。

$- (\frac{\frac{- 1 (17 \sqrt{2} + 64)}{24}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.16

将负号移到分数的前面。

$- (\frac{- \frac{17 \sqrt{2} + 64}{24}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.17

化简每一项。

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解题步骤 16.17.1

将分子乘以分母的倒数。

$- (- \frac{17 \sqrt{2} + 64}{24} \cdot \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.17.2

乘以 $- \frac{17 \sqrt{2} + 64}{24} \cdot \frac{1}{5}$ 。

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解题步骤 16.17.2.1

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{17 \sqrt{2} + 64}{24}$ 。

$- (- \frac{17 \sqrt{2} + 64}{5 \cdot 24} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.17.2.2

将 $5$ 乘以 $24$ 。

$- (- \frac{17 \sqrt{2} + 64}{120} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.18

要将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{60}{60}$ 。

$- (- \frac{17 \sqrt{2} + 64}{120} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{60}{60})$

解题步骤 16.19

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $120$ 的形式。

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解题步骤 16.19.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{60}{60}$ 。

$- (- \frac{17 \sqrt{2} + 64}{120} + \frac{\sqrt{2} \cdot 60}{2 \cdot 60})$

解题步骤 16.19.2

将 $2$ 乘以 $60$ 。

$- (- \frac{17 \sqrt{2} + 64}{120} + \frac{\sqrt{2} \cdot 60}{120})$

解题步骤 16.20

在公分母上合并分子。

$- \frac{- (17 \sqrt{2} + 64) + \sqrt{2} \cdot 60}{120}$

解题步骤 16.21

化简分子。

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解题步骤 16.21.1

运用分配律。

$- \frac{- (17 \sqrt{2}) - 1 \cdot 64 + \sqrt{2} \cdot 60}{120}$

解题步骤 16.21.2

将 $17$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{- 17 \sqrt{2} - 1 \cdot 64 + \sqrt{2} \cdot 60}{120}$

解题步骤 16.21.3

将 $- 1$ 乘以 $64$ 。

$- \frac{- 17 \sqrt{2} - 64 + \sqrt{2} \cdot 60}{120}$

解题步骤 16.21.4

将 $60$ 移到 $\sqrt{2}$ 的左侧。

$- \frac{- 17 \sqrt{2} - 64 + 60 \cdot \sqrt{2}}{120}$

解题步骤 16.21.5

将 $- 17 \sqrt{2}$ 和 $60 \sqrt{2}$ 相加。

$- \frac{- 64 + 43 \sqrt{2}}{120}$

解题步骤 17

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{- 64 + 43 \sqrt{2}}{120}$

小数形式：

$0.02657347 \dots$

微积分学 示例

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