微积分学示例

$\ln^{2} (t) \cos (t)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = \ln^{2} (t)$ 且 $g (t) = \cos (t)$ 。

$\ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)] + \cos (t) \frac{d}{d t} [\ln^{2} (t)]$

解题步骤 2

$\cos (t)$ 对 $t$ 的导数为 $- \sin (t)$ 。

$\ln^{2} (t) (- \sin (t)) + \cos (t) \frac{d}{d t} [\ln^{2} (t)]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{2}$ 且 $g (t) = \ln (t)$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\ln (t)$ 。

$\ln^{2} (t) (- \sin (t)) + \cos (t) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [\ln (t)])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\ln^{2} (t) (- \sin (t)) + \cos (t) (2 u \frac{d}{d t} [\ln (t)])$

解题步骤 3.3

使用 $\ln (t)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln^{2} (t) (- \sin (t)) + \cos (t) (2 \ln (t) \frac{d}{d t} [\ln (t)])$

解题步骤 4

$\ln (t)$ 对 $t$ 的导数为 $\frac{1}{t}$ 。

$\ln^{2} (t) (- \sin (t)) + \cos (t) (2 \ln (t) \frac{1}{t})$

解题步骤 5

合并分数。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{t}$ 和 $2$ 。

$\ln^{2} (t) (- \sin (t)) + \cos (t) (\frac{2}{t} \ln (t))$

解题步骤 5.2

组合 $\frac{2}{t}$ 和 $\ln (t)$ 。

$\ln^{2} (t) (- \sin (t)) + \cos (t) \frac{2 \ln (t)}{t}$

解题步骤 5.3

组合 $\cos (t)$ 和 $\frac{2 \ln (t)}{t}$ 。

$\ln^{2} (t) (- \sin (t)) + \frac{\cos (t) (2 \ln (t))}{t}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

重新排序项。

$- \ln^{2} (t) \sin (t) + \frac{\cos (t) (2 \ln (t))}{t}$

解题步骤 6.2

将 $2$ 移到 $\cos (t)$ 的左侧。

$- \ln^{2} (t) \sin (t) + \frac{2 \cos (t) \ln (t)}{t}$

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