微积分学示例

$y = arcsinh (\tan (x))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = arcsinh (x)$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\tan (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [arcsinh (u)] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 1.2

$arcsinh (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{\sqrt{u^{2} + 1}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{u^{2} + 1}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 1.3

使用 $\tan (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (x) + 1}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (x) + 1}} \sec^{2} (x)$

解题步骤 3

组合 $\frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (x) + 1}}$ 和 $\sec^{2} (x)$ 。

$\frac{\sec^{2} (x)}{\sqrt{\tan^{2} (x) + 1}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

使用勾股恒等式。

$\frac{\sec^{2} (x)}{\sqrt{\sec^{2} (x)}}$

解题步骤 4.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{\sec^{2} (x)}{\sec (x)}$

解题步骤 4.3

约去 $\sec^{2} (x)$ 和 $\sec (x)$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

从 $\sec^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) \sec (x)}{\sec (x)}$

解题步骤 4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.2.1

乘以 $1$ 。

$\frac{\sec (x) \sec (x)}{\sec (x) \cdot 1}$

解题步骤 4.3.2.2

约去公因数。

$\frac{\sec (x) \sec (x)}{\sec (x) \cdot 1}$

解题步骤 4.3.2.3

重写表达式。

$\frac{\sec (x)}{1}$

解题步骤 4.3.2.4

用 $\sec (x)$ 除以 $1$ 。

$\sec (x)$

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