微积分学示例

$lim_{x \to - 5} \frac{\frac{1}{- 3 x - 8} - \frac{1}{7}}{\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6}}$

解题步骤 1

合并项。

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解题步骤 1.1

要将 $\frac{1}{- 3 x - 8}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$lim_{x \to - 5} \frac{\frac{1}{- 3 x - 8} \cdot \frac{7}{7} - \frac{1}{7}}{\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6}}$

解题步骤 1.2

要将 $- \frac{1}{7}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{- 3 x - 8}{- 3 x - 8}$ 。

$lim_{x \to - 5} \frac{\frac{1}{- 3 x - 8} \cdot \frac{7}{7} - \frac{1}{7} \cdot \frac{- 3 x - 8}{- 3 x - 8}}{\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6}}$

解题步骤 1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(- 3 x - 8) \cdot 7$ 的形式。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{1}{- 3 x - 8}$ 乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$lim_{x \to - 5} \frac{\frac{7}{(- 3 x - 8) \cdot 7} - \frac{1}{7} \cdot \frac{- 3 x - 8}{- 3 x - 8}}{\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6}}$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{1}{7}$ 乘以 $\frac{- 3 x - 8}{- 3 x - 8}$ 。

$lim_{x \to - 5} \frac{\frac{7}{(- 3 x - 8) \cdot 7} - \frac{- 3 x - 8}{7 (- 3 x - 8)}}{\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6}}$

解题步骤 1.3.3

重新排序 $(- 3 x - 8) \cdot 7$ 的因式。

$lim_{x \to - 5} \frac{\frac{7}{7 (- 3 x - 8)} - \frac{- 3 x - 8}{7 (- 3 x - 8)}}{\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6}}$

解题步骤 1.4

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to - 5} \frac{\frac{7 - (- 3 x - 8)}{7 (- 3 x - 8)}}{\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6}}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

化简极限自变量。

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解题步骤 2.1.1

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to - 5} \frac{7 - (- 3 x - 8)}{7 (- 3 x - 8)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6}}$

解题步骤 2.1.2

将 $\frac{7 - (- 3 x - 8)}{7 (- 3 x - 8)}$ 乘以 $\frac{1}{\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6}}$ 。

$lim_{x \to - 5} \frac{7 - (- 3 x - 8)}{7 (- 3 x - 8) (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6})}$

解题步骤 2.2

因为项 $\frac{1}{7}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{7 - (- 3 x - 8)}{(- 3 x - 8) (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6})}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{lim_{x \to - 5} 7 - (- 3 x - 8)}{lim_{x \to - 5} (- 3 x - 8) (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6})}$

解题步骤 3.1.2

将 $- 5$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1.2.1

将 $- 5$ 代入 $x$ 来计算 $7 - (- 3 x - 8)$ 的极限值。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{7 - (- 3 \cdot - 5 - 8)}{lim_{x \to - 5} (- 3 x - 8) (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6})}$

解题步骤 3.1.2.2

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.2.1

将 $- 3$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{7 - (15 - 8)}{lim_{x \to - 5} (- 3 x - 8) (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6})}$

解题步骤 3.1.2.2.2

从 $15$ 中减去 $8$ 。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{7 - 1 \cdot 7}{lim_{x \to - 5} (- 3 x - 8) (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6})}$

解题步骤 3.1.2.2.3

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{7 - 7}{lim_{x \to - 5} (- 3 x - 8) (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6})}$

解题步骤 3.1.2.3

从 $7$ 中减去 $7$ 。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{0}{lim_{x \to - 5} (- 3 x - 8) (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6})}$

解题步骤 3.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 3.1.3.1

当 $x$ 趋于 $- 5$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{0}{lim_{x \to - 5} - 3 x - 8 \cdot lim_{x \to - 5} \frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6}}$

解题步骤 3.1.3.2

当 $x$ 趋于 $- 5$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{0}{(- lim_{x \to - 5} 3 x - lim_{x \to - 5} 8) \cdot lim_{x \to - 5} \frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6}}$

解题步骤 3.1.3.3

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{0}{(- 3 lim_{x \to - 5} x - lim_{x \to - 5} 8) \cdot lim_{x \to - 5} \frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6}}$

解题步骤 3.1.3.4

计算 $8$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 5$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{0}{(- 3 lim_{x \to - 5} x - 1 \cdot 8) \cdot lim_{x \to - 5} \frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6}}$

解题步骤 3.1.3.5

当 $x$ 趋于 $- 5$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{0}{(- 3 lim_{x \to - 5} x - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to - 5} \frac{1}{- 3 x - 9} - lim_{x \to - 5} \frac{1}{6})}$

解题步骤 3.1.3.6

当 $x$ 趋于 $- 5$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{0}{(- 3 lim_{x \to - 5} x - 1 \cdot 8) \cdot (\frac{lim_{x \to - 5} 1}{lim_{x \to - 5} - 3 x - 9} - lim_{x \to - 5} \frac{1}{6})}$

解题步骤 3.1.3.7

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 5$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{0}{(- 3 lim_{x \to - 5} x - 1 \cdot 8) \cdot (\frac{1}{lim_{x \to - 5} - 3 x - 9} - lim_{x \to - 5} \frac{1}{6})}$

解题步骤 3.1.3.8

当 $x$ 趋于 $- 5$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{0}{(- 3 lim_{x \to - 5} x - 1 \cdot 8) \cdot (\frac{1}{- lim_{x \to - 5} 3 x - lim_{x \to - 5} 9} - lim_{x \to - 5} \frac{1}{6})}$

解题步骤 3.1.3.9

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{0}{(- 3 lim_{x \to - 5} x - 1 \cdot 8) \cdot (\frac{1}{- 3 lim_{x \to - 5} x - lim_{x \to - 5} 9} - lim_{x \to - 5} \frac{1}{6})}$

解题步骤 3.1.3.10

计算 $9$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 5$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{0}{(- 3 lim_{x \to - 5} x - 1 \cdot 8) \cdot (\frac{1}{- 3 lim_{x \to - 5} x - 1 \cdot 9} - lim_{x \to - 5} \frac{1}{6})}$

解题步骤 3.1.3.11

计算 $\frac{1}{6}$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 5$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{0}{(- 3 lim_{x \to - 5} x - 1 \cdot 8) \cdot (\frac{1}{- 3 lim_{x \to - 5} x - 1 \cdot 9} - \frac{1}{6})}$

解题步骤 3.1.3.12

将 $- 5$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1.3.12.1

将 $- 5$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{0}{(- 3 \cdot - 5 - 1 \cdot 8) \cdot (\frac{1}{- 3 lim_{x \to - 5} x - 1 \cdot 9} - \frac{1}{6})}$

解题步骤 3.1.3.12.2

将 $- 5$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{0}{(- 3 \cdot - 5 - 1 \cdot 8) \cdot (\frac{1}{- 3 \cdot - 5 - 1 \cdot 9} - \frac{1}{6})}$

解题步骤 3.1.3.13

化简答案。

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解题步骤 3.1.3.13.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.3.13.1.1

将 $- 3$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{0}{(15 - 1 \cdot 8) \cdot (\frac{1}{- 3 \cdot - 5 - 1 \cdot 9} - \frac{1}{6})}$

解题步骤 3.1.3.13.1.2

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{0}{(15 - 8) \cdot (\frac{1}{- 3 \cdot - 5 - 1 \cdot 9} - \frac{1}{6})}$

解题步骤 3.1.3.13.2

从 $15$ 中减去 $8$ 。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{0}{7 \cdot (\frac{1}{- 3 \cdot - 5 - 1 \cdot 9} - \frac{1}{6})}$

解题步骤 3.1.3.13.3

化简分母。

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解题步骤 3.1.3.13.3.1

将 $- 3$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{0}{7 \cdot (\frac{1}{15 - 1 \cdot 9} - \frac{1}{6})}$

解题步骤 3.1.3.13.3.2

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{0}{7 \cdot (\frac{1}{15 - 9} - \frac{1}{6})}$

解题步骤 3.1.3.13.3.3

从 $15$ 中减去 $9$ 。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{0}{7 \cdot (\frac{1}{6} - \frac{1}{6})}$

解题步骤 3.1.3.13.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{0}{7 \cdot \frac{1 - 1}{6}}$

解题步骤 3.1.3.13.5

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{0}{7 \cdot \frac{0}{6}}$

解题步骤 3.1.3.13.6

用 $0$ 除以 $6$ 。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{0}{7 \cdot 0}$

解题步骤 3.1.3.13.7

将 $7$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.3.13.8

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{7} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.3.14

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{7} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{7} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to - 5} \frac{7 - (- 3 x - 8)}{(- 3 x - 8) (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6})} = lim_{x \to - 5} \frac{\frac{d}{d x} [7 - (- 3 x - 8)]}{\frac{d}{d x} [(- 3 x - 8) (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6})]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{\frac{d}{d x} [7 - (- 3 x - 8)]}{\frac{d}{d x} [(- 3 x - 8) (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6})]}$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $7 - (- 3 x - 8)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- (- 3 x - 8)]$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- (- 3 x - 8)]}{\frac{d}{d x} [(- 3 x - 8) (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6})]}$

解题步骤 3.3.3

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- (- 3 x - 8)]}{\frac{d}{d x} [(- 3 x - 8) (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6})]}$

解题步骤 3.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- (- 3 x - 8)]$ 。

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解题步骤 3.3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- (- 3 x - 8)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [- 3 x - 8]$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{0 - \frac{d}{d x} [- 3 x - 8]}{\frac{d}{d x} [(- 3 x - 8) (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6})]}$

解题步骤 3.3.4.2

根据加法法则， $- 3 x - 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{0 - (\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{\frac{d}{d x} [(- 3 x - 8) (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6})]}$

解题步骤 3.3.4.3

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{0 - (- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{\frac{d}{d x} [(- 3 x - 8) (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6})]}$

解题步骤 3.3.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{0 - (- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8])}{\frac{d}{d x} [(- 3 x - 8) (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6})]}$

解题步骤 3.3.4.5

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{0 - (- 3 \cdot 1 + 0)}{\frac{d}{d x} [(- 3 x - 8) (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6})]}$

解题步骤 3.3.4.6

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{0 - (- 3 + 0)}{\frac{d}{d x} [(- 3 x - 8) (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6})]}$

解题步骤 3.3.4.7

将 $- 3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{0 - - 3}{\frac{d}{d x} [(- 3 x - 8) (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6})]}$

解题步骤 3.3.4.8

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{0 + 3}{\frac{d}{d x} [(- 3 x - 8) (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6})]}$

解题步骤 3.3.5

将 $0$ 和 $3$ 相加。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{d}{d x} [(- 3 x - 8) (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6})]}$

解题步骤 3.3.6

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 3 x - 8$ 且 $g (x) = \frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6}$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{(- 3 x - 8) \frac{d}{d x} [\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6}] + (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6}) \frac{d}{d x} [- 3 x - 8]}$

解题步骤 3.3.7

根据加法法则， $\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 3 x - 9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6}]$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{(- 3 x - 8) (\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 3 x - 9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6}]) + (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6}) \frac{d}{d x} [- 3 x - 8]}$

解题步骤 3.3.8

将 $\frac{1}{- 3 x - 9}$ 重写为 ${(- 3 x - 9)}^{- 1}$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{(- 3 x - 8) (\frac{d}{d x} [{(- 3 x - 9)}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6}]) + (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6}) \frac{d}{d x} [- 3 x - 8]}$

解题步骤 3.3.9

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = - 3 x - 9$ 。

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解题步骤 3.3.9.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- 3 x - 9$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{(- 3 x - 8) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [- 3 x - 9] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6}]) + (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6}) \frac{d}{d x} [- 3 x - 8]}$

解题步骤 3.3.9.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{(- 3 x - 8) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [- 3 x - 9] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6}]) + (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6}) \frac{d}{d x} [- 3 x - 8]}$

解题步骤 3.3.9.3

使用 $- 3 x - 9$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{(- 3 x - 8) (- {(- 3 x - 9)}^{- 2} \frac{d}{d x} [- 3 x - 9] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6}]) + (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6}) \frac{d}{d x} [- 3 x - 8]}$

解题步骤 3.3.10

根据加法法则， $- 3 x - 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{(- 3 x - 8) (- {(- 3 x - 9)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6}]) + (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6}) \frac{d}{d x} [- 3 x - 8]}$

解题步骤 3.3.11

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{(- 3 x - 8) (- {(- 3 x - 9)}^{- 2} (- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6}]) + (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6}) \frac{d}{d x} [- 3 x - 8]}$

解题步骤 3.3.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{(- 3 x - 8) (- {(- 3 x - 9)}^{- 2} (- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6}]) + (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6}) \frac{d}{d x} [- 3 x - 8]}$

解题步骤 3.3.13

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{(- 3 x - 8) (- {(- 3 x - 9)}^{- 2} (- 3 + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6}]) + (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6}) \frac{d}{d x} [- 3 x - 8]}$

解题步骤 3.3.14

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{(- 3 x - 8) (- {(- 3 x - 9)}^{- 2} (- 3 + 0) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6}]) + (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6}) \frac{d}{d x} [- 3 x - 8]}$

解题步骤 3.3.15

将 $- 3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{(- 3 x - 8) (- {(- 3 x - 9)}^{- 2} \cdot - 3 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6}]) + (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6}) \frac{d}{d x} [- 3 x - 8]}$

解题步骤 3.3.16

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{(- 3 x - 8) (3 {(- 3 x - 9)}^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6}]) + (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6}) \frac{d}{d x} [- 3 x - 8]}$

解题步骤 3.3.17

因为 $- \frac{1}{6}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{1}{6}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{(- 3 x - 8) (3 {(- 3 x - 9)}^{- 2} + 0) + (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6}) \frac{d}{d x} [- 3 x - 8]}$

解题步骤 3.3.18

将 $3 {(- 3 x - 9)}^{- 2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{(- 3 x - 8) \cdot 3 {(- 3 x - 9)}^{- 2} + (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6}) \frac{d}{d x} [- 3 x - 8]}$

解题步骤 3.3.19

将 $3$ 移到 $- 3 x - 8$ 的左侧。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{3 \cdot (- 3 x - 8) {(- 3 x - 9)}^{- 2} + (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6}) \frac{d}{d x} [- 3 x - 8]}$

解题步骤 3.3.20

根据加法法则， $- 3 x - 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{3 (- 3 x - 8) {(- 3 x - 9)}^{- 2} + (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6}) (\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8])}$

解题步骤 3.3.21

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{3 (- 3 x - 8) {(- 3 x - 9)}^{- 2} + (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6}) (- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])}$

解题步骤 3.3.22

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{3 (- 3 x - 8) {(- 3 x - 9)}^{- 2} + (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6}) (- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8])}$

解题步骤 3.3.23

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{3 (- 3 x - 8) {(- 3 x - 9)}^{- 2} + (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6}) (- 3 + \frac{d}{d x} [- 8])}$

解题步骤 3.3.24

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{3 (- 3 x - 8) {(- 3 x - 9)}^{- 2} + (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6}) (- 3 + 0)}$

解题步骤 3.3.25

将 $- 3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{3 (- 3 x - 8) {(- 3 x - 9)}^{- 2} + (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6}) \cdot - 3}$

解题步骤 3.3.26

将 $- 3$ 移到 $\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6}$ 的左侧。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{3 (- 3 x - 8) {(- 3 x - 9)}^{- 2} - 3 \cdot (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6})}$

解题步骤 3.3.27

化简。

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解题步骤 3.3.27.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{3 (- 3 x - 8) \frac{1}{{(- 3 x - 9)}^{2}} - 3 (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6})}$

解题步骤 3.3.27.2

运用分配律。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{(3 \cdot - 3 x + 3 \cdot - 8) \frac{1}{{(- 3 x - 9)}^{2}} - 3 (\frac{1}{- 3 x - 9} - \frac{1}{6})}$

解题步骤 3.3.27.3

运用分配律。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{(3 \cdot - 3 x + 3 \cdot - 8) \frac{1}{{(- 3 x - 9)}^{2}} - 3 \frac{1}{- 3 x - 9} - 3 \cdot - 1 \frac{1}{6}}$

解题步骤 3.3.27.4

合并项。

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解题步骤 3.3.27.4.1

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{(- 9 x + 3 \cdot - 8) \frac{1}{{(- 3 x - 9)}^{2}} - 3 \frac{1}{- 3 x - 9} - 3 \cdot - 1 \frac{1}{6}}$

解题步骤 3.3.27.4.2

将 $3$ 乘以 $- 8$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{(- 9 x - 24) \frac{1}{{(- 3 x - 9)}^{2}} - 3 \frac{1}{- 3 x - 9} - 3 \cdot - 1 \frac{1}{6}}$

解题步骤 3.3.27.4.3

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{- 3 x - 9}$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{(- 9 x - 24) \frac{1}{{(- 3 x - 9)}^{2}} + \frac{- 3}{- 3 x - 9} - 3 \cdot - 1 \frac{1}{6}}$

解题步骤 3.3.27.4.4

约去 $- 3$ 和 $- 3 x - 9$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.27.4.4.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{(- 9 x - 24) \frac{1}{{(- 3 x - 9)}^{2}} + \frac{3 (- 1)}{- 3 x - 9} - 3 \cdot - 1 \frac{1}{6}}$

解题步骤 3.3.27.4.4.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.27.4.4.2.1

从 $- 3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{(- 9 x - 24) \frac{1}{{(- 3 x - 9)}^{2}} + \frac{3 (- 1)}{3 \cdot - 1 x - 9} - 3 \cdot - 1 \frac{1}{6}}$

解题步骤 3.3.27.4.4.2.2

从 $- 9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{(- 9 x - 24) \frac{1}{{(- 3 x - 9)}^{2}} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot - 1 x + 3 \cdot - 3} - 3 \cdot - 1 \frac{1}{6}}$

解题步骤 3.3.27.4.4.2.3

从 $3 (- x) + 3 (- 3)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{(- 9 x - 24) \frac{1}{{(- 3 x - 9)}^{2}} + \frac{3 (- 1)}{3 (- x - 3)} - 3 \cdot - 1 \frac{1}{6}}$

解题步骤 3.3.27.4.4.2.4

约去公因数。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{(- 9 x - 24) \frac{1}{{(- 3 x - 9)}^{2}} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (- x - 3)} - 3 \cdot - 1 \frac{1}{6}}$

解题步骤 3.3.27.4.4.2.5

重写表达式。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{(- 9 x - 24) \frac{1}{{(- 3 x - 9)}^{2}} + \frac{- 1}{- x - 3} - 3 \cdot - 1 \frac{1}{6}}$

解题步骤 3.3.27.4.5

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{(- 9 x - 24) \frac{1}{{(- 3 x - 9)}^{2}} - \frac{1}{- x - 3} - 3 \cdot - 1 \frac{1}{6}}$

解题步骤 3.3.27.4.6

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{(- 9 x - 24) \frac{1}{{(- 3 x - 9)}^{2}} - \frac{1}{- x - 3} + 3 (\frac{1}{6})}$

解题步骤 3.3.27.4.7

组合 $3$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{(- 9 x - 24) \frac{1}{{(- 3 x - 9)}^{2}} - \frac{1}{- x - 3} + \frac{3}{6}}$

解题步骤 3.3.27.4.8

约去 $3$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.27.4.8.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{(- 9 x - 24) \frac{1}{{(- 3 x - 9)}^{2}} - \frac{1}{- x - 3} + \frac{3 (1)}{6}}$

解题步骤 3.3.27.4.8.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.27.4.8.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{(- 9 x - 24) \frac{1}{{(- 3 x - 9)}^{2}} - \frac{1}{- x - 3} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}}$

解题步骤 3.3.27.4.8.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{(- 9 x - 24) \frac{1}{{(- 3 x - 9)}^{2}} - \frac{1}{- x - 3} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}}$

解题步骤 3.3.27.4.8.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{(- 9 x - 24) \frac{1}{{(- 3 x - 9)}^{2}} - \frac{1}{- x - 3} + \frac{1}{2}}$

解题步骤 3.3.27.4.9

要将 $- \frac{1}{- x - 3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{(- 9 x - 24) \frac{1}{{(- 3 x - 9)}^{2}} - \frac{1}{- x - 3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

解题步骤 3.3.27.4.10

要将 $\frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{- x - 3}{- x - 3}$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{(- 9 x - 24) \frac{1}{{(- 3 x - 9)}^{2}} - \frac{1}{- x - 3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{- x - 3}{- x - 3}}$

解题步骤 3.3.27.4.11

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(- x - 3) \cdot 2$ 的形式。

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解题步骤 3.3.27.4.11.1

将 $\frac{1}{- x - 3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{(- 9 x - 24) \frac{1}{{(- 3 x - 9)}^{2}} - \frac{2}{(- x - 3) \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{- x - 3}{- x - 3}}$

解题步骤 3.3.27.4.11.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{- x - 3}{- x - 3}$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{(- 9 x - 24) \frac{1}{{(- 3 x - 9)}^{2}} - \frac{2}{(- x - 3) \cdot 2} + \frac{- x - 3}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.4.11.3

重新排序 $(- x - 3) \cdot 2$ 的因式。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{(- 9 x - 24) \frac{1}{{(- 3 x - 9)}^{2}} - \frac{2}{2 (- x - 3)} + \frac{- x - 3}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.4.12

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{(- 9 x - 24) \frac{1}{{(- 3 x - 9)}^{2}} + \frac{- 2 - x - 3}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.4.13

从 $- 2$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{(- 9 x - 24) \frac{1}{{(- 3 x - 9)}^{2}} + \frac{- x - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.4.14

要将 $(- 9 x - 24) \frac{1}{{(- 3 x - 9)}^{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 (- x - 3)}{2 (- x - 3)}$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{(- 9 x - 24) \frac{1}{{(- 3 x - 9)}^{2}} \cdot \frac{2 (- x - 3)}{2 (- x - 3)} + \frac{- x - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.4.15

组合 $(- 9 x - 24) \frac{1}{{(- 3 x - 9)}^{2}}$ 和 $\frac{2 (- x - 3)}{2 (- x - 3)}$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{(- 9 x - 24) \frac{1}{{(- 3 x - 9)}^{2}} \cdot 2 (- x - 3)}{2 (- x - 3)} + \frac{- x - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.4.16

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{(- 9 x - 24) \frac{1}{{(- 3 x - 9)}^{2}} \cdot 2 (- x - 3) - x - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.4.17

组合 $2$ 和 $\frac{1}{{(- 3 x - 9)}^{2}}$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{(- 9 x - 24) \frac{2}{{(- 3 x - 9)}^{2}} (- x - 3) - x - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.5

重新排序项。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{(- 9 x - 24) (- x - 3) \frac{2}{{(- 3 x - 9)}^{2}} - x - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.6

化简分母。

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解题步骤 3.3.27.6.1

从 $- 3 x - 9$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 3.3.27.6.1.1

从 $- 3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{(- 9 x - 24) (- x - 3) \frac{2}{{(3 \cdot - 1 x - 9)}^{2}} - x - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.6.1.2

从 $- 9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{(- 9 x - 24) (- x - 3) \frac{2}{{(3 \cdot - 1 x + 3 (- 3))}^{2}} - x - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.6.1.3

从 $3 (- x) + 3 (- 3)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{(- 9 x - 24) (- x - 3) \frac{2}{{(3 (- x - 3))}^{2}} - x - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.6.2

对 $3 (- x - 3)$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{(- 9 x - 24) (- x - 3) \frac{2}{3^{2} {(- x - 3)}^{2}} - x - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.6.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{(- 9 x - 24) (- x - 3) \frac{2}{9 {(- x - 3)}^{2}} - x - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7

化简分子。

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解题步骤 3.3.27.7.1

约去 $- (- x - 3)$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.27.7.1.1

从 $(- 9 x - 24) (- x - 3)$ 中分解出因数 $- (- x - 3)$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{- (- x - 3) (9 x + 24) \frac{2}{9 {(- x - 3)}^{2}} - x - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.1.2

从 $9 {(- x - 3)}^{2}$ 中分解出因数 $- (- x - 3)$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{- (- x - 3) (9 x + 24) \frac{2}{- (- x - 3) \cdot - 9 (- x - 3)} - x - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.1.3

约去公因数。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{- (- x - 3) (9 x + 24) \frac{2}{- (- x - 3) \cdot - 9 (- x - 3)} - x - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.1.4

重写表达式。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{(9 x + 24) \frac{2}{- 9 (- x - 3)} - x - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{(9 x + 24) \cdot - 1 \frac{2}{9 (- x - 3)} - x - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.3

运用分配律。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{9 x \cdot - 1 \frac{2}{9 (- x - 3)} + 24 \cdot - 1 \frac{2}{9 (- x - 3)} - x - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.4

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.27.7.4.1

将 $- \frac{2}{9 (- x - 3)}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{9 x \frac{- 2}{9 (- x - 3)} + 24 \cdot - 1 \frac{2}{9 (- x - 3)} - x - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.4.2

从 $9 x$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{9 (x) \frac{- 2}{9 (- x - 3)} + 24 \cdot - 1 \frac{2}{9 (- x - 3)} - x - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.4.3

约去公因数。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{9 x \frac{- 2}{9 (- x - 3)} + 24 \cdot - 1 \frac{2}{9 (- x - 3)} - x - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.4.4

重写表达式。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{x \frac{- 2}{- x - 3} + 24 \cdot - 1 \frac{2}{9 (- x - 3)} - x - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.5

组合 $x$ 和 $\frac{- 2}{- x - 3}$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{\frac{x \cdot - 2}{- x - 3} + 24 \cdot - 1 \frac{2}{9 (- x - 3)} - x - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.6

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.27.7.6.1

将 $- \frac{2}{9 (- x - 3)}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{\frac{x \cdot - 2}{- x - 3} + 24 \frac{- 2}{9 (- x - 3)} - x - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.6.2

从 $24$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{\frac{x \cdot - 2}{- x - 3} + 3 (8) \frac{- 2}{9 (- x - 3)} - x - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.6.3

从 $9 (- x - 3)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{\frac{x \cdot - 2}{- x - 3} + 3 (8) \frac{- 2}{3 \cdot 3 (- x - 3)} - x - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.6.4

约去公因数。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{\frac{x \cdot - 2}{- x - 3} + 3 \cdot 8 \frac{- 2}{3 \cdot 3 (- x - 3)} - x - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.6.5

重写表达式。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{\frac{x \cdot - 2}{- x - 3} + 8 \frac{- 2}{3 (- x - 3)} - x - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.7

组合 $8$ 和 $\frac{- 2}{3 (- x - 3)}$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{\frac{x \cdot - 2}{- x - 3} + \frac{8 \cdot - 2}{3 (- x - 3)} - x - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.8

将 $8$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{\frac{x \cdot - 2}{- x - 3} + \frac{- 16}{3 (- x - 3)} - x - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.9

化简每一项。

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解题步骤 3.3.27.7.9.1

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{\frac{- 2 \cdot x}{- x - 3} + \frac{- 16}{3 (- x - 3)} - x - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.9.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{- \frac{2 \cdot x}{- x - 3} + \frac{- 16}{3 (- x - 3)} - x - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.9.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{- \frac{2 x}{- x - 3} - \frac{16}{3 (- x - 3)} - x - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.10

要将 $- \frac{2 x}{- x - 3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{- \frac{2 x}{- x - 3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3 (- x - 3)} - x - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.11

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(- x - 3) \cdot 3$ 的形式。

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解题步骤 3.3.27.7.11.1

将 $\frac{2 x}{- x - 3}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{- \frac{2 x \cdot 3}{(- x - 3) \cdot 3} - \frac{16}{3 (- x - 3)} - x - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.11.2

重新排序 $(- x - 3) \cdot 3$ 的因式。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{- \frac{2 x \cdot 3}{3 (- x - 3)} - \frac{16}{3 (- x - 3)} - x - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.12

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{\frac{- 2 x \cdot 3 - 16}{3 (- x - 3)} - x - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.13

化简分子。

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解题步骤 3.3.27.7.13.1

从 $- 2 x \cdot 3 - 16$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 3.3.27.7.13.1.1

从 $- 2 x \cdot 3$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{\frac{2 \cdot - 1 x \cdot 3 - 16}{3 (- x - 3)} - x - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.13.1.2

从 $- 16$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{\frac{2 \cdot - 1 x \cdot 3 + 2 (- 8)}{3 (- x - 3)} - x - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.13.1.3

从 $2 (- x \cdot 3) + 2 (- 8)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{\frac{2 (- x \cdot 3 - 8)}{3 (- x - 3)} - x - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.13.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{\frac{2 (- 3 x - 8)}{3 (- x - 3)} - x - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.14

要将 $- x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 (- x - 3)}{3 (- x - 3)}$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{\frac{2 (- 3 x - 8)}{3 (- x - 3)} - x \cdot \frac{3 (- x - 3)}{3 (- x - 3)} - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.15

组合 $- x$ 和 $\frac{3 (- x - 3)}{3 (- x - 3)}$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{\frac{2 (- 3 x - 8)}{3 (- x - 3)} + \frac{- x \cdot 3 (- x - 3)}{3 (- x - 3)} - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.16

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{\frac{2 (- 3 x - 8) - x \cdot 3 (- x - 3)}{3 (- x - 3)} - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.17

化简分子。

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解题步骤 3.3.27.7.17.1

运用分配律。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{\frac{2 \cdot - 3 x + 2 \cdot - 8 - x \cdot 3 (- x - 3)}{3 (- x - 3)} - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.17.2

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{\frac{- 6 x + 2 \cdot - 8 - x \cdot 3 (- x - 3)}{3 (- x - 3)} - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.17.3

将 $2$ 乘以 $- 8$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{\frac{- 6 x - 16 - x \cdot 3 (- x - 3)}{3 (- x - 3)} - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.17.4

运用分配律。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{\frac{- 6 x - 16 - x (3 \cdot - 1 x + 3 \cdot - 3)}{3 (- x - 3)} - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.17.5

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{\frac{- 6 x - 16 - x (- 3 x + 3 \cdot - 3)}{3 (- x - 3)} - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.17.6

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{\frac{- 6 x - 16 - x (- 3 x - 9)}{3 (- x - 3)} - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.17.7

运用分配律。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{\frac{- 6 x - 16 - x \cdot - 3 x - x \cdot - 9}{3 (- x - 3)} - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.17.8

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{\frac{- 6 x - 16 - 1 \cdot - 3 x \cdot x - x \cdot - 9}{3 (- x - 3)} - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.17.9

将 $- 9$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{\frac{- 6 x - 16 - 1 \cdot - 3 x \cdot x + 9 x}{3 (- x - 3)} - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.17.10

化简每一项。

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解题步骤 3.3.27.7.17.10.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.27.7.17.10.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{\frac{- 6 x - 16 - 1 \cdot - 3 x \cdot x + 9 x}{3 (- x - 3)} - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.17.10.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{\frac{- 6 x - 16 - 1 \cdot - 3 x^{2} + 9 x}{3 (- x - 3)} - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.17.10.2

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{\frac{- 6 x - 16 + 3 x^{2} + 9 x}{3 (- x - 3)} - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.17.11

将 $- 6 x$ 和 $9 x$ 相加。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{\frac{3 x - 16 + 3 x^{2}}{3 (- x - 3)} - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.17.12

重新排序项。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{\frac{3 x^{2} + 3 x - 16}{3 (- x - 3)} - 5}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.18

要将 $- 5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 (- x - 3)}{3 (- x - 3)}$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{\frac{3 x^{2} + 3 x - 16}{3 (- x - 3)} - 5 \cdot \frac{3 (- x - 3)}{3 (- x - 3)}}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.19

组合 $- 5$ 和 $\frac{3 (- x - 3)}{3 (- x - 3)}$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{\frac{3 x^{2} + 3 x - 16}{3 (- x - 3)} + \frac{- 5 \cdot 3 (- x - 3)}{3 (- x - 3)}}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.20

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{\frac{3 x^{2} + 3 x - 16 - 5 \cdot 3 (- x - 3)}{3 (- x - 3)}}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.21

化简分子。

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解题步骤 3.3.27.7.21.1

将 $- 5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{\frac{3 x^{2} + 3 x - 16 - 15 (- x - 3)}{3 (- x - 3)}}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.21.2

运用分配律。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{\frac{3 x^{2} + 3 x - 16 - 15 \cdot - 1 x - 15 \cdot - 3}{3 (- x - 3)}}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.21.3

将 $- 1$ 乘以 $- 15$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{\frac{3 x^{2} + 3 x - 16 + 15 x - 15 \cdot - 3}{3 (- x - 3)}}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.21.4

将 $- 15$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{\frac{3 x^{2} + 3 x - 16 + 15 x + 45}{3 (- x - 3)}}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.21.5

将 $3 x$ 和 $15 x$ 相加。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{\frac{3 x^{2} + 18 x - 16 + 45}{3 (- x - 3)}}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.7.21.6

将 $- 16$ 和 $45$ 相加。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{\frac{3 x^{2} + 18 x + 29}{3 (- x - 3)}}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.8

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{3 x^{2} + 18 x + 29}{3 (- x - 3)} \cdot \frac{1}{2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.9

乘以 $\frac{3 x^{2} + 18 x + 29}{3 (- x - 3)} \cdot \frac{1}{2 (- x - 3)}$ 。

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解题步骤 3.3.27.9.1

将 $\frac{3 x^{2} + 18 x + 29}{3 (- x - 3)}$ 乘以 $\frac{1}{2 (- x - 3)}$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{3 x^{2} + 18 x + 29}{3 (- x - 3) \cdot 2 (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.9.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{3 x^{2} + 18 x + 29}{6 (- x - 3) (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.9.3

对 $- x - 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{3 x^{2} + 18 x + 29}{6 {(- x - 3)}^{1} (- x - 3)}}$

解题步骤 3.3.27.9.4

对 $- x - 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{3 x^{2} + 18 x + 29}{6 {(- x - 3)}^{1} {(- x - 3)}^{1}}}$

解题步骤 3.3.27.9.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{3 x^{2} + 18 x + 29}{6 {(- x - 3)}^{1 + 1}}}$

解题步骤 3.3.27.9.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3}{\frac{3 x^{2} + 18 x + 29}{6 {(- x - 3)}^{2}}}$

解题步骤 3.4

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} 3 \frac{6 {(- x - 3)}^{2}}{3 x^{2} + 18 x + 29}$

解题步骤 3.5

合并因数。

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解题步骤 3.5.1

组合 $3$ 和 $\frac{6 {(- x - 3)}^{2}}{3 x^{2} + 18 x + 29}$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{3 \cdot 6 {(- x - 3)}^{2}}{3 x^{2} + 18 x + 29}$

解题步骤 3.5.2

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to - 5} \frac{18 {(- x - 3)}^{2}}{3 x^{2} + 18 x + 29}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

因为项 $18$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{7} \cdot 18 lim_{x \to - 5} \frac{{(- x - 3)}^{2}}{3 x^{2} + 18 x + 29}$

解题步骤 4.2

当 $x$ 趋于 $- 5$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{7} \cdot 18 \frac{lim_{x \to - 5} {(- x - 3)}^{2}}{lim_{x \to - 5} 3 x^{2} + 18 x + 29}$

解题步骤 4.3

使用极限幂法则把 ${(- x - 3)}^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{1}{7} \cdot 18 \frac{{(lim_{x \to - 5} - x - 3)}^{2}}{lim_{x \to - 5} 3 x^{2} + 18 x + 29}$

解题步骤 4.4

当 $x$ 趋于 $- 5$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{7} \cdot 18 \frac{{(- lim_{x \to - 5} x - lim_{x \to - 5} 3)}^{2}}{lim_{x \to - 5} 3 x^{2} + 18 x + 29}$

解题步骤 4.5

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 5$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{7} \cdot 18 \frac{{(- lim_{x \to - 5} x - 1 \cdot 3)}^{2}}{lim_{x \to - 5} 3 x^{2} + 18 x + 29}$

解题步骤 4.6

当 $x$ 趋于 $- 5$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{7} \cdot 18 \frac{{(- lim_{x \to - 5} x - 1 \cdot 3)}^{2}}{lim_{x \to - 5} 3 x^{2} + lim_{x \to - 5} 18 x + lim_{x \to - 5} 29}$

解题步骤 4.7

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{7} \cdot 18 \frac{{(- lim_{x \to - 5} x - 1 \cdot 3)}^{2}}{3 lim_{x \to - 5} x^{2} + lim_{x \to - 5} 18 x + lim_{x \to - 5} 29}$

解题步骤 4.8

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{1}{7} \cdot 18 \frac{{(- lim_{x \to - 5} x - 1 \cdot 3)}^{2}}{3 {(lim_{x \to - 5} x)}^{2} + lim_{x \to - 5} 18 x + lim_{x \to - 5} 29}$

解题步骤 4.9

因为项 $18$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{7} \cdot 18 \frac{{(- lim_{x \to - 5} x - 1 \cdot 3)}^{2}}{3 {(lim_{x \to - 5} x)}^{2} + 18 lim_{x \to - 5} x + lim_{x \to - 5} 29}$

解题步骤 4.10

计算 $29$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 5$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{7} \cdot 18 \frac{{(- lim_{x \to - 5} x - 1 \cdot 3)}^{2}}{3 {(lim_{x \to - 5} x)}^{2} + 18 lim_{x \to - 5} x + 29}$

解题步骤 5

将 $- 5$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 5.1

将 $- 5$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{7} \cdot 18 \frac{{(5 - 1 \cdot 3)}^{2}}{3 {(lim_{x \to - 5} x)}^{2} + 18 lim_{x \to - 5} x + 29}$

解题步骤 5.2

将 $- 5$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{7} \cdot 18 \frac{{(5 - 1 \cdot 3)}^{2}}{3 {(- 5)}^{2} + 18 lim_{x \to - 5} x + 29}$

解题步骤 5.3

将 $- 5$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{7} \cdot 18 \frac{{(5 - 1 \cdot 3)}^{2}}{3 {(- 5)}^{2} + 18 \cdot - 5 + 29}$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

组合 $\frac{1}{7}$ 和 $18$ 。

$\frac{18}{7} \cdot \frac{{(5 - 1 \cdot 3)}^{2}}{3 {(- 5)}^{2} + 18 \cdot - 5 + 29}$

解题步骤 6.2

化简分子。

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解题步骤 6.2.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{18}{7} \cdot \frac{{(5 - 3)}^{2}}{3 {(- 5)}^{2} + 18 \cdot - 5 + 29}$

解题步骤 6.2.2

从 $5$ 中减去 $3$ 。

$\frac{18}{7} \cdot \frac{2^{2}}{3 {(- 5)}^{2} + 18 \cdot - 5 + 29}$

解题步骤 6.2.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{18}{7} \cdot \frac{4}{3 {(- 5)}^{2} + 18 \cdot - 5 + 29}$

解题步骤 6.3

化简分母。

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解题步骤 6.3.1

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{18}{7} \cdot \frac{4}{3 \cdot 25 + 18 \cdot - 5 + 29}$

解题步骤 6.3.2

将 $3$ 乘以 $25$ 。

$\frac{18}{7} \cdot \frac{4}{75 + 18 \cdot - 5 + 29}$

解题步骤 6.3.3

将 $18$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{18}{7} \cdot \frac{4}{75 - 90 + 29}$

解题步骤 6.3.4

从 $75$ 中减去 $90$ 。

$\frac{18}{7} \cdot \frac{4}{- 15 + 29}$

解题步骤 6.3.5

将 $- 15$ 和 $29$ 相加。

$\frac{18}{7} \cdot \frac{4}{14}$

解题步骤 6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.1

从 $18$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (9)}{7} \cdot \frac{4}{14}$

解题步骤 6.4.2

从 $14$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 9}{7} \cdot \frac{4}{2 \cdot 7}$

解题步骤 6.4.3

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 9}{7} \cdot \frac{4}{2 \cdot 7}$

解题步骤 6.4.4

重写表达式。

$\frac{9}{7} \cdot \frac{4}{7}$

解题步骤 6.5

将 $\frac{9}{7}$ 乘以 $\frac{4}{7}$ 。

$\frac{9 \cdot 4}{7 \cdot 7}$

解题步骤 6.6

将 $9$ 乘以 $4$ 。

$\frac{36}{7 \cdot 7}$

解题步骤 6.7

将 $7$ 乘以 $7$ 。

$\frac{36}{49}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{36}{49}$

小数形式：

$0.73469387 \dots$

微积分学 示例

微积分学示例