微积分学示例

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{{(5 - x^{3})}^{5}}}$

解题步骤 1

将 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt[3]{{(5 - x^{3})}^{5}}}]$ 重写为 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{(5 - x^{3}) \sqrt[3]{{(5 - x^{3})}^{2}}}]$ 。

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解题步骤 1.1

因式分解出 ${(5 - x^{3})}^{3}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt[3]{{(5 - x^{3})}^{3} {(5 - x^{3})}^{2}}}]$

解题步骤 1.2

从根式下提出各项。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{(5 - x^{3}) \sqrt[3]{{(5 - x^{3})}^{2}}}]$

解题步骤 2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{{(5 - x^{3})}^{2}}$ 重写成 ${(5 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{(5 - x^{3}) {(5 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 3

通过指数相加将 $5 - x^{3}$ 乘以 ${(5 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $5 - x^{3}$ 乘以 ${(5 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $5 - x^{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 - x^{3})}^{1} {(5 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 - x^{3})}^{1 + \frac{2}{3}}}]$

解题步骤 3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 - x^{3})}^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}]$

解题步骤 3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 - x^{3})}^{\frac{3 + 2}{3}}}]$

解题步骤 3.4

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 - x^{3})}^{\frac{5}{3}}}]$

解题步骤 4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{1}{{(5 - x^{3})}^{\frac{5}{3}}}$ 重写为 ${({(5 - x^{3})}^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{({(5 - x^{3})}^{\frac{5}{3}})}^{- 1}]$

解题步骤 4.2

将 ${({(5 - x^{3})}^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(5 - x^{3})}^{\frac{5}{3} \cdot - 1}]$

解题步骤 4.2.2

乘以 $\frac{5}{3} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

组合 $\frac{5}{3}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [{(5 - x^{3})}^{\frac{5 \cdot - 1}{3}}]$

解题步骤 4.2.2.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [{(5 - x^{3})}^{\frac{- 5}{3}}]$

解题步骤 4.2.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{d}{d x} [{(5 - x^{3})}^{- \frac{5}{3}}]$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- \frac{5}{3}}$ 且 $g (x) = 5 - x^{3}$ 。

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解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $5 - x^{3}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{5}{3}}] \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{5}{3}$ 。

$- \frac{5}{3} u^{- \frac{5}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

解题步骤 5.3

使用 $5 - x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{5}{3} {(5 - x^{3})}^{- \frac{5}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

解题步骤 6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{5}{3} {(5 - x^{3})}^{- \frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

解题步骤 7

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{5}{3} {(5 - x^{3})}^{- \frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

解题步骤 8

在公分母上合并分子。

$- \frac{5}{3} {(5 - x^{3})}^{\frac{- 5 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

解题步骤 9

化简分子。

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解题步骤 9.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{5}{3} {(5 - x^{3})}^{\frac{- 5 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

解题步骤 9.2

从 $- 5$ 中减去 $3$ 。

$- \frac{5}{3} {(5 - x^{3})}^{\frac{- 8}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

解题步骤 10

合并分数。

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解题步骤 10.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{5}{3} {(5 - x^{3})}^{- \frac{8}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

解题步骤 10.2

组合 ${(5 - x^{3})}^{- \frac{8}{3}}$ 和 $\frac{5}{3}$ 。

$- \frac{{(5 - x^{3})}^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{3} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

解题步骤 10.3

化简表达式。

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解题步骤 10.3.1

将 $5$ 移到 ${(5 - x^{3})}^{- \frac{8}{3}}$ 的左侧。

$- \frac{5 \cdot {(5 - x^{3})}^{- \frac{8}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

解题步骤 10.3.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(5 - x^{3})}^{- \frac{8}{3}}$ 移动到分母。

$- \frac{5}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]$

解题步骤 11

根据加法法则， $5 - x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 。

$- \frac{5}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

解题步骤 12

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{5}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

解题步骤 13

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 相加。

$- \frac{5}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 14

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- \frac{5}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 15

乘。

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解题步骤 15.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{5}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 15.2

将 $\frac{5}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 16

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{5}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}} (3 x^{2})$

解题步骤 17

化简项。

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解题步骤 17.1

组合 $3$ 和 $\frac{5}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}}$ 。

$\frac{3 \cdot 5}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}} x^{2}$

解题步骤 17.2

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$\frac{15}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}} x^{2}$

解题步骤 17.3

组合 $\frac{15}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{15 x^{2}}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 17.4

从 $15 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (5 x^{2})}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 18

约去公因数。

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解题步骤 18.1

从 $3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (5 x^{2})}{3 ({(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}})}$

解题步骤 18.2

约去公因数。

$\frac{3 (5 x^{2})}{3 {(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 18.3

重写表达式。

$\frac{5 x^{2}}{{(5 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 19

重新排序项。

$\frac{5 x^{2}}{{(- x^{3} + 5)}^{\frac{8}{3}}}$

微积分学 示例

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