微积分学示例

$y = {(\ln (x))}^{\ln (x)}$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$y = {(\ln (x))}^{\ln (x)}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\ln (x))}^{\ln (x)})$

解题步骤 3

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

使用对数的性质化简微分。

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解题步骤 4.1.1

将 ${(\ln (x))}^{\ln (x)}$ 重写为 $e^{\ln ({(\ln (x))}^{\ln (x)})}$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(\ln (x))}^{\ln (x)})}]$

解题步骤 4.1.2

通过将 $\ln (x)$ 移到对数外来展开 $\ln ({(\ln (x))}^{\ln (x)})$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (\ln (x))}]$

解题步骤 4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \ln (x) \ln (\ln (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\ln (x) \ln (\ln (x))$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\ln (x))]$

解题步骤 4.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\ln (x))]$

解题步骤 4.2.3

使用 $\ln (x) \ln (\ln (x))$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\ln (x))]$

解题步骤 4.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \ln (\ln (x))$ 。

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 4.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

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解题步骤 4.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\ln (x)$ 。

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 4.4.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\ln (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 4.4.3

使用 $\ln (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\ln (x) (\frac{1}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 4.5

化简项。

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解题步骤 4.5.1

组合 $\frac{1}{\ln (x)}$ 和 $\ln (x)$ 。

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\frac{\ln (x)}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 4.5.2

约去 $\ln (x)$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.2.1

约去公因数。

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\frac{\ln (x)}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 4.5.2.2

重写表达式。

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (1 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 4.5.3

将 $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 乘以 $1$ 。

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 4.6

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\frac{1}{x} + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 4.7

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\frac{1}{x} + \ln (\ln (x)) \frac{1}{x})$

解题步骤 4.8

组合 $\ln (\ln (x))$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\frac{1}{x} + \frac{\ln (\ln (x))}{x})$

解题步骤 4.9

化简。

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解题步骤 4.9.1

运用分配律。

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} \frac{1}{x} + e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} \frac{\ln (\ln (x))}{x}$

解题步骤 4.9.2

合并项。

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解题步骤 4.9.2.1

组合 $e^{\ln (x) \ln (\ln (x))}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{e^{\ln (x) \ln (\ln (x))}}{x} + e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} \frac{\ln (\ln (x))}{x}$

解题步骤 4.9.2.2

组合 $e^{\ln (x) \ln (\ln (x))}$ 和 $\frac{\ln (\ln (x))}{x}$ 。

$\frac{e^{\ln (x) \ln (\ln (x))}}{x} + \frac{e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} \ln (\ln (x))}{x}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{e^{\ln (x) \ln (\ln (x))}}{x} + \frac{e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} \ln (\ln (x))}{x}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\ln (x) \ln (\ln (x))}}{x} + \frac{e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} \ln (\ln (x))}{x}$

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