微积分学示例

$f (x) = e^{x} \cos (x)$

解题步骤 1

求导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 1.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 1.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

解题步骤 1.4

重新排序项。

$- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$

解题步骤 2

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 2.1

对 $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

从 $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 2.1.1.1

从 $- e^{x} \sin (x)$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x) = 0$

解题步骤 2.1.1.2

从 $e^{x} \cos (x)$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x) = 0$

解题步骤 2.1.1.3

从 $e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x)$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$e^{x} (- 1 \sin (x) + \cos (x)) = 0$

解题步骤 2.1.2

将 $- 1 \sin (x)$ 重写为 $- \sin (x)$ 。

$e^{x} (- \sin (x) + \cos (x)) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$e^{x} = 0$

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

解题步骤 2.3

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{x} = 0$

解题步骤 2.3.2

求解 $x$ 的 $e^{x} = 0$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

解题步骤 2.3.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 2.3.2.3

$e^{x} = 0$ 无解

无解

解题步骤 2.4

将 $- \sin (x) + \cos (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $- \sin (x) + \cos (x)$ 设为等于 $0$ 。

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $- \sin (x) + \cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

将方程中的每一项都除以 $\cos (x)$ 。

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 2.4.2.2

分离分数。

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 2.4.2.3

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 2.4.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 2.4.2.5

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.5.1

约去公因数。

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 2.4.2.5.2

重写表达式。

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 2.4.2.6

分离分数。

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 2.4.2.7

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

解题步骤 2.4.2.8

用 $0$ 除以 $1$ 。

$- \tan (x) + 1 = 0 \sec (x)$

解题步骤 2.4.2.9

将 $0$ 乘以 $\sec (x)$ 。

$- \tan (x) + 1 = 0$

解题步骤 2.4.2.10

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- \tan (x) = - 1$

解题步骤 2.4.2.11

将 $- \tan (x) = - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.4.2.11.1

将 $- \tan (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 2.4.2.11.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.11.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 2.4.2.11.2.2

用 $\tan (x)$ 除以 $1$ 。

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 2.4.2.11.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.11.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$\tan (x) = 1$

解题步骤 2.4.2.12

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (1)$

解题步骤 2.4.2.13

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.13.1

$\arctan (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 2.4.2.14

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + \frac{π}{4}$

解题步骤 2.4.2.15

化简 $π + \frac{π}{4}$ 。

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解题步骤 2.4.2.15.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 2.4.2.15.2

合并分数。

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解题步骤 2.4.2.15.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 2.4.2.15.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

解题步骤 2.4.2.15.3

化简分子。

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解题步骤 2.4.2.15.3.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

解题步骤 2.4.2.15.3.2

将 $4 π$ 和 $π$ 相加。

$x = \frac{5 π}{4}$

解题步骤 2.4.2.16

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 2.4.2.16.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 2.4.2.16.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 2.4.2.16.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 2.4.2.16.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 2.4.2.17

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.5

最终解为使 $e^{x} (- \sin (x) + \cos (x)) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.6

合并答案。

$x = \frac{π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.7

将每一个解代入 $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x) = 0$ 并求解从而对其进行验证。

$x = \frac{π}{4} + 6 π n, \frac{5 π}{4} + 6 π n, \frac{9 π}{4} + 6 π n, 10.21017612 + 6 π n, 13.35176877 + 6 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

求在 $x = \frac{π}{4}$ 处的原函数 $f (x) = e^{x} \cos (x)$ 。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $\frac{π}{4}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{4}) = e^{\frac{π}{4}} \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{π}{4}) = e^{\frac{π}{4}} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 3.2.2

组合 $e^{\frac{π}{4}}$ 和 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.2.3

最终答案为 $\frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4

求在 $x = \frac{5 π}{4}$ 处的原函数 $f (x) = e^{x} \cos (x)$ 。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $\frac{5 π}{4}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} \cos (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} (- \cos (\frac{π}{4}))$

解题步骤 4.2.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 4.2.3

组合 $e^{\frac{5 π}{4}}$ 和 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.2.4

最终答案为 $- \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 5

求在 $x = \frac{9 π}{4}$ 处的原函数 $f (x) = e^{x} \cos (x)$ 。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $\frac{9 π}{4}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{9 π}{4}) = e^{\frac{9 π}{4}} \cos (\frac{9 π}{4})$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$f (\frac{9 π}{4}) = e^{\frac{9 π}{4}} \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 5.2.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{9 π}{4}) = e^{\frac{9 π}{4}} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 5.2.3

组合 $e^{\frac{9 π}{4}}$ 和 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{9 π}{4}) = \frac{e^{\frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 5.2.4

最终答案为 $\frac{e^{\frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{e^{\frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 6

求在 $x = 10.21017612$ 处的原函数 $f (x) = e^{x} \cos (x)$ 。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $10.21017612$ 替换变量 $x$ 。

$f (10.21017612) = e^{10.21017612} \cos (10.21017612)$

解题步骤 6.2

最终答案为 $e^{10.21017612} \cos (10.21017612)$ 。

$e^{10.21017612} \cos (10.21017612)$

解题步骤 7

求在 $x = 13.35176877$ 处的原函数 $f (x) = e^{x} \cos (x)$ 。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $13.35176877$ 替换变量 $x$ 。

$f (13.35176877) = e^{13.35176877} \cos (13.35176877)$

解题步骤 7.2

最终答案为 $e^{13.35176877} \cos (13.35176877)$ 。

$e^{13.35176877} \cos (13.35176877)$

解题步骤 8

函数 $f (x) = e^{x} \cos (x)$ 上的水平切线是 $y = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = \frac{e^{\frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = e^{10.21017612} \cos (10.21017612), y = e^{13.35176877} \cos (13.35176877)$ 。

$y = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = \frac{e^{\frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = e^{10.21017612} \cos (10.21017612), y = e^{13.35176877} \cos (13.35176877)$

解题步骤 9

微积分学 示例

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