微积分学示例

$y = \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \sin^{2} (x)$ 。

$\frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{{(\sin^{2} (x))}^{2}}$

解题步骤 3.2

将 ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{{\sin (x)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 3.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

解题步骤 3.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\frac{\sin^{2} (x) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

解题步骤 3.4

通过指数相加将 $\sin^{2} (x)$ 乘以 $\sin (x)$ 。

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解题步骤 3.4.1

移动 $\sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

解题步骤 3.4.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $\sin^{2} (x)$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

解题步骤 3.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

解题步骤 3.4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{\sin^{3} (x) \cdot - 1 - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

解题步骤 3.5

化简表达式。

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解题步骤 3.5.1

将 $- 1$ 移到 $\sin^{3} (x)$ 的左侧。

$\frac{- 1 \cdot \sin^{3} (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

解题步骤 3.5.2

将 $- 1 \sin^{3} (x)$ 重写为 $- \sin^{3} (x)$ 。

$\frac{- \sin^{3} (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

解题步骤 3.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 3.6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x)$ 。

$\frac{- \sin^{3} (x) - \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

解题步骤 3.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{- \sin^{3} (x) - \cos (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

解题步骤 3.6.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{- \sin^{3} (x) - \cos (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

解题步骤 3.7

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 3.7.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- \sin^{3} (x) - 2 \cos (x) (\sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

解题步骤 3.7.2

从 $- \sin^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

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解题步骤 3.7.2.1

从 $- \sin^{3} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) (- \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{4} (x)}$

解题步骤 3.7.2.2

从 $- 2 \cos (x) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) (- \sin^{2} (x)) + \sin (x) (- 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

解题步骤 3.7.2.3

从 $\sin (x) (- \sin^{2} (x)) + \sin (x) (- 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) (- \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

解题步骤 3.8

约去公因数。

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解题步骤 3.8.1

从 $\sin^{4} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) (- \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin (x) \sin^{3} (x)}$

解题步骤 3.8.2

约去公因数。

$\frac{\sin (x) (- \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin (x) \sin^{3} (x)}$

解题步骤 3.8.3

重写表达式。

$\frac{- \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{3} (x)}$

解题步骤 3.9

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{- \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$

解题步骤 3.10

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \sin^{2} (x) - 2 (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\sin^{3} (x)}$

解题步骤 3.11

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \sin^{2} (x) - 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\sin^{3} (x)}$

解题步骤 3.12

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- \sin^{2} (x) - 2 {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{3} (x)}$

解题步骤 3.13

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{3} (x)}$

解题步骤 3.14

化简。

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解题步骤 3.14.1

从 $- \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sin^{2} (x)) - 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{3} (x)}$

解题步骤 3.14.2

从 $- 2 \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sin^{2} (x)) - (2 \cos^{2} (x))}{\sin^{3} (x)}$

解题步骤 3.14.3

从 $- (\sin^{2} (x)) - (2 \cos^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x))}{\sin^{3} (x)}$

解题步骤 3.14.4

将 $- (\sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x))$ 重写为 $- 1 (\sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x))$ 。

$\frac{- 1 (\sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x))}{\sin^{3} (x)}$

解题步骤 3.14.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{\sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{3} (x)}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - \frac{\sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{3} (x)}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{3} (x)}$

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