微积分学示例

$\frac{1}{5} {(x y^{2} + 4 y)}^{2}$

解题步骤 1

将 ${(x y^{2} + 4 y)}^{2}$ 重写为 $(x y^{2} + 4 y) (x y^{2} + 4 y)$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} ((x y^{2} + 4 y) (x y^{2} + 4 y))]$

解题步骤 2

使用 FOIL 方法展开 $(x y^{2} + 4 y) (x y^{2} + 4 y)$ 。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x y^{2} (x y^{2} + 4 y) + 4 y (x y^{2} + 4 y))]$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x y^{2} (x y^{2}) + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2} + 4 y))]$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x y^{2} (x y^{2}) + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

解题步骤 3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x \cdot x y^{2} y^{2} + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

解题步骤 3.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{2} y^{2} + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

解题步骤 3.1.2

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 3.1.2.1

移动 $y^{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} (y^{2} y^{2}) + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

解题步骤 3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{2 + 2} + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

解题步骤 3.1.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

解题步骤 3.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{2} y + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

解题步骤 3.1.4

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 3.1.4.1

移动 $y$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x (y \cdot y^{2}) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

解题步骤 3.1.4.2

将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 3.1.4.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x (y^{1} y^{2}) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

解题步骤 3.1.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{1 + 2} + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

解题步骤 3.1.4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

解题步骤 3.1.5

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 3.1.5.1

移动 $y^{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 (y^{2} y) x + 4 y (4 y))]$

解题步骤 3.1.5.2

将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 3.1.5.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 (y^{2} y^{1}) x + 4 y (4 y))]$

解题步骤 3.1.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{2 + 1} x + 4 y (4 y))]$

解题步骤 3.1.5.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{3} x + 4 y (4 y))]$

解题步骤 3.1.6

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{3} x + 4 \cdot 4 y \cdot y)]$

解题步骤 3.1.7

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 3.1.7.1

移动 $y$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{3} x + 4 \cdot 4 (y \cdot y))]$

解题步骤 3.1.7.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{3} x + 4 \cdot 4 y^{2})]$

解题步骤 3.1.8

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{3} x + 16 y^{2})]$

解题步骤 3.2

将 $4 x y^{3}$ 和 $4 y^{3} x$ 相加。

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解题步骤 3.2.1

移动 $y^{3}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 x y^{3} + 16 y^{2})]$

解题步骤 3.2.2

将 $4 x y^{3}$ 和 $4 x y^{3}$ 相加。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 8 x y^{3} + 16 y^{2})]$

解题步骤 4

因为 $\frac{1}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 8 x y^{3} + 16 y^{2})$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{2} y^{4} + 8 x y^{3} + 16 y^{2}]$ 。

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{2} y^{4} + 8 x y^{3} + 16 y^{2}]$

解题步骤 5

根据加法法则， $x^{2} y^{4} + 8 x y^{3} + 16 y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}]$ 。

$\frac{1}{5} (\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

解题步骤 6

因为 $y^{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x^{2} y^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{5} (y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

解题步骤 7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{5} (y^{4} (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

解题步骤 8

将 $2$ 移到 $y^{4}$ 的左侧。

$\frac{1}{5} (2 \cdot y^{4} x + \frac{d}{d x} [8 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

解题步骤 9

因为 $8 y^{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x y^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $8 y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x + 8 y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

解题步骤 10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x + 8 y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

解题步骤 11

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x + 8 y^{3} + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

解题步骤 12

因为 $16 y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16 y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x + 8 y^{3} + 0)$

解题步骤 13

将 $2 y^{4} x + 8 y^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x + 8 y^{3})$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

运用分配律。

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x) + \frac{1}{5} (8 y^{3})$

解题步骤 14.2

合并项。

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解题步骤 14.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$\frac{2}{5} (y^{4} x) + \frac{1}{5} (8 y^{3})$

解题步骤 14.2.2

组合 $y^{4}$ 和 $\frac{2}{5}$ 。

$\frac{y^{4} \cdot 2}{5} x + \frac{1}{5} (8 y^{3})$

解题步骤 14.2.3

组合 $\frac{y^{4} \cdot 2}{5}$ 和 $x$ 。

$\frac{y^{4} \cdot 2 x}{5} + \frac{1}{5} (8 y^{3})$

解题步骤 14.2.4

将 $2$ 移到 $y^{4}$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot y^{4} x}{5} + \frac{1}{5} (8 y^{3})$

解题步骤 14.2.5

组合 $8$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$\frac{2 y^{4} x}{5} + \frac{8}{5} y^{3}$

解题步骤 14.2.6

组合 $\frac{8}{5}$ 和 $y^{3}$ 。

$\frac{2 y^{4} x}{5} + \frac{8 y^{3}}{5}$

微积分学 示例

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