微积分学示例

$r = \csc (θ) \cot (θ)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d θ} (r) = \frac{d}{d θ} (\csc (θ) \cot (θ))$

解题步骤 2

$r$ 对 $θ$ 的导数为 $r'$ 。

$r'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ 等于 $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ ，其中 $f (θ) = \csc (θ)$ 且 $g (θ) = \cot (θ)$ 。

$\csc (θ) \frac{d}{d θ} [\cot (θ)] + \cot (θ) \frac{d}{d θ} [\csc (θ)]$

解题步骤 3.2

$\cot (θ)$ 对 $θ$ 的导数为 $- \csc^{2} (θ)$ 。

$\csc (θ) (- \csc^{2} (θ)) + \cot (θ) \frac{d}{d θ} [\csc (θ)]$

解题步骤 3.3

对 $\csc (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\csc^{1} (θ) \csc^{2} (θ)) + \cot (θ) \frac{d}{d θ} [\csc (θ)]$

解题步骤 3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- {\csc (θ)}^{1 + 2} + \cot (θ) \frac{d}{d θ} [\csc (θ)]$

解题步骤 3.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- \csc^{3} (θ) + \cot (θ) \frac{d}{d θ} [\csc (θ)]$

解题步骤 3.6

$\csc (θ)$ 对 $θ$ 的导数为 $- \csc (θ) \cot (θ)$ 。

$- \csc^{3} (θ) + \cot (θ) (- \csc (θ) \cot (θ))$

解题步骤 3.7

对 $\cot (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \csc^{3} (θ) - \csc (θ) (\cot^{1} (θ) \cot (θ))$

解题步骤 3.8

对 $\cot (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \csc^{3} (θ) - \csc (θ) (\cot^{1} (θ) \cot^{1} (θ))$

解题步骤 3.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \csc^{3} (θ) - \csc (θ) {\cot (θ)}^{1 + 1}$

解题步骤 3.10

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \csc^{3} (θ) - \csc (θ) \cot^{2} (θ)$

解题步骤 3.11

重新排序项。

$- \cot^{2} (θ) \csc (θ) - \csc^{3} (θ)$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$r' = - \cot^{2} (θ) \csc (θ) - \csc^{3} (θ)$

解题步骤 5

使用 $\frac{d r}{d θ}$ 替换 $r'$ 。

$\frac{d r}{d θ} = - \cot^{2} (θ) \csc (θ) - \csc^{3} (θ)$

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