微积分学示例

$\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x$

解题步骤 1

在 $0$ 处分解积分并写为极限之和。

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} f (x) d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} f (x) d x$

解题步骤 2

应用常数不变法则。

$lim_{t \to - \infty} f (x) x]_{t}^{0} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} f (x) d x$

解题步骤 3

代入并化简。

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解题步骤 3.1

计算 $f (x) x$ 在 $0$ 处和在 $t$ 处的值。

$lim_{t \to - \infty} (f (x) \cdot 0) - f (x) t + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} f (x) d x$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $f (x)$ 乘以 $0$ 。

$lim_{t \to - \infty} 0 - f (x) t + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} f (x) d x$

解题步骤 3.2.2

从 $0$ 中减去 $f (x) t$ 。

$lim_{t \to - \infty} - f (x) t + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} f (x) d x$

解题步骤 4

应用常数不变法则。

$lim_{t \to - \infty} - f (x) t + lim_{t \to \infty} f (x) x]_{0}^{t}$

解题步骤 5

代入并化简。

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解题步骤 5.1

计算 $f (x) x$ 在 $t$ 处和在 $0$ 处的值。

$lim_{t \to - \infty} - f (x) t + lim_{t \to \infty} (f (x) t) - f (x) \cdot 0$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{t \to - \infty} - f (x) t + lim_{t \to \infty} f (x) t + 0 f (x)$

解题步骤 5.2.2

将 $0$ 乘以 $f (x)$ 。

$lim_{t \to - \infty} - f (x) t + lim_{t \to \infty} f (x) t + 0$

解题步骤 5.2.3

将 $f (x) t$ 和 $0$ 相加。

$lim_{t \to - \infty} - f (x) t + lim_{t \to \infty} f (x) t$

解题步骤 6

计算极限值。

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解题步骤 6.1

重新排序 $- f (x) t$ 的因式。

$lim_{t \to - \infty} - t f (x) + lim_{t \to \infty} f (x) t$

解题步骤 6.2

首项系数为负的奇次多项式的负无穷是负无穷。

$\infty + lim_{t \to \infty} f (x) t$

解题步骤 6.3

重新排序 $f (x) t$ 的因式。

$\infty + lim_{t \to \infty} t f (x)$

解题步骤 6.4

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\infty + \infty$

解题步骤 6.5

无穷大加上无穷大结果为无穷大。

$\infty$

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