微积分学示例

$\int \frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 2

通过将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (3 x^{2} - 2 x + 1) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

解题步骤 3

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (3 x^{2} - 2 x + 1) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

解题步骤 3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int (3 x^{2} - 2 x + 1) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

解题步骤 3.3

将负号移到分数的前面。

$\int (3 x^{2} - 2 x + 1) x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4

展开 $(3 x^{2} - 2 x + 1) x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\int (3 x^{2} - 2 x) x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\int 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 3 x^{2 - \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.4

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\int 3 x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.5

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\int 3 x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.6

在公分母上合并分子。

$\int 3 x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.7

化简分子。

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解题步骤 4.7.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\int 3 x^{\frac{4 - 1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.7.2

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$\int 3 x^{\frac{3}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.8

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 3 x^{\frac{3}{2}} - 2 (x^{1} x^{- \frac{1}{2}}) + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 3 x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{1 - \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.10

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int 3 x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.11

在公分母上合并分子。

$\int 3 x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.12

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\int 3 x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.13

将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\int 3 x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.14

移动 $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int 3 x^{\frac{3}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 3 x^{\frac{3}{2}} d x + \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int - 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 6

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int - 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ 。

$3 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int - 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{- \frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$3 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C + \int - 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 9

组合 $\frac{2}{5}$ 和 $x^{\frac{5}{2}}$ 。

$3 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C + \int - 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 10

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$3 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 11

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$3 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$3 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C)$

解题步骤 12.2

化简。

$\frac{6 x^{\frac{5}{2}}}{5} + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

解题步骤 12.3

化简。

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解题步骤 12.3.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ 。

$\frac{6 x^{\frac{5}{2}}}{5} + 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

解题步骤 12.3.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{6 x^{\frac{5}{2}}}{5} + 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

解题步骤 12.3.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{6 x^{\frac{5}{2}}}{5} + 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

解题步骤 13

重新排序项。

$\frac{6}{5} x^{\frac{5}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

微积分学 示例

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