微积分学示例

$lim_{x \to 4} \frac{3 (\ln (9 x + 10) + 1)}{4 ({(2 x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 1)}$

解题步骤 1

因为项 $\frac{3}{4}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3}{4} lim_{x \to 4} \frac{\ln (9 x + 10) + 1}{{(2 x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 1}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 4} \ln (9 x + 10) + 1}{lim_{x \to 4} {(2 x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 1}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 4} \ln (9 x + 10) + lim_{x \to 4} 1}{lim_{x \to 4} {(2 x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 1}$

解题步骤 4

将极限移入对数中。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (lim_{x \to 4} 9 x + 10) + lim_{x \to 4} 1}{lim_{x \to 4} {(2 x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 1}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (lim_{x \to 4} 9 x + lim_{x \to 4} 10) + lim_{x \to 4} 1}{lim_{x \to 4} {(2 x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 1}$

解题步骤 6

因为项 $9$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (9 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 10) + lim_{x \to 4} 1}{lim_{x \to 4} {(2 x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 1}$

解题步骤 7

计算 $10$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (9 lim_{x \to 4} x + 10) + lim_{x \to 4} 1}{lim_{x \to 4} {(2 x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 1}$

解题步骤 8

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (9 lim_{x \to 4} x + 10) + 1}{lim_{x \to 4} {(2 x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 1}$

解题步骤 9

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (9 lim_{x \to 4} x + 10) + 1}{lim_{x \to 4} {(2 x + 2)}^{\frac{1}{3}} + lim_{x \to 4} 1}$

解题步骤 10

使用极限幂法则把 ${(2 x + 2)}^{\frac{1}{3}}$ 的指数 $\frac{1}{3}$ 移到极限外。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (9 lim_{x \to 4} x + 10) + 1}{{(lim_{x \to 4} 2 x + 2)}^{\frac{1}{3}} + lim_{x \to 4} 1}$

解题步骤 11

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (9 lim_{x \to 4} x + 10) + 1}{{(lim_{x \to 4} 2 x + lim_{x \to 4} 2)}^{\frac{1}{3}} + lim_{x \to 4} 1}$

解题步骤 12

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (9 lim_{x \to 4} x + 10) + 1}{{(2 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 2)}^{\frac{1}{3}} + lim_{x \to 4} 1}$

解题步骤 13

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (9 lim_{x \to 4} x + 10) + 1}{{(2 lim_{x \to 4} x + 2)}^{\frac{1}{3}} + lim_{x \to 4} 1}$

解题步骤 14

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (9 lim_{x \to 4} x + 10) + 1}{{(2 lim_{x \to 4} x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 1}$

解题步骤 15

将 $4$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 15.1

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (9 \cdot 4 + 10) + 1}{{(2 lim_{x \to 4} x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 1}$

解题步骤 15.2

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (9 \cdot 4 + 10) + 1}{{(2 \cdot 4 + 2)}^{\frac{1}{3}} + 1}$

解题步骤 16

化简答案。

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解题步骤 16.1

化简分子。

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解题步骤 16.1.1

将 $9$ 乘以 $4$ 。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (36 + 10) + 1}{{(2 \cdot 4 + 2)}^{\frac{1}{3}} + 1}$

解题步骤 16.1.2

将 $36$ 和 $10$ 相加。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (46) + 1}{{(2 \cdot 4 + 2)}^{\frac{1}{3}} + 1}$

解题步骤 16.2

化简分母。

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解题步骤 16.2.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (46) + 1}{{(8 + 2)}^{\frac{1}{3}} + 1}$

解题步骤 16.2.2

将 $8$ 和 $2$ 相加。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\ln (46) + 1}{10^{\frac{1}{3}} + 1}$

解题步骤 16.3

将 $\frac{3}{4}$ 乘以 $\frac{\ln (46) + 1}{10^{\frac{1}{3}} + 1}$ 。

$\frac{3 (\ln (46) + 1)}{4 (10^{\frac{1}{3}} + 1)}$

解题步骤 17

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{3 (\ln (46) + 1)}{4 (10^{\frac{1}{3}} + 1)}$

小数形式：

$1.14806024 \dots$

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