微积分学示例

$y = \arcsin (\arccos (t))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \arcsin (t)$ 且 $g (t) = \arccos (t)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\arccos (t)$ 。

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d t} [\arccos (t)]$

解题步骤 1.2

$\arcsin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d t} [\arccos (t)]$

解题步骤 1.3

使用 $\arccos (t)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {\arccos (t)}^{2}}} \frac{d}{d t} [\arccos (t)]$

解题步骤 2

$\arccos (t)$ 对 $t$ 的导数为 $- \frac{1}{\sqrt{1 - t^{2}}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {\arccos (t)}^{2}}} (- \frac{1}{\sqrt{1 - t^{2}}})$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{1}{\sqrt{1 - {\arccos (t)}^{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{\sqrt{1 - t^{2}}}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {\arccos (t)}^{2}} \sqrt{1 - t^{2}}}$

解题步骤 3.2

使用根数乘积法则进行合并。

$- \frac{1}{\sqrt{(1 - {\arccos (t)}^{2}) (1 - t^{2})}}$

解题步骤 3.3

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{(1^{2} - {\arccos (t)}^{2}) (1 - t^{2})}}$

解题步骤 4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \arccos (t)$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{(1 + \arccos (t)) (1 - \arccos (t)) (1 - t^{2})}}$

解题步骤 5

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{(1 + \arccos (t)) (1 - \arccos (t)) (1^{2} - t^{2})}}$

解题步骤 6

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = t$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{(1 + \arccos (t)) (1 - \arccos (t)) (1 + t) (1 - t)}}$

微积分学 示例