微积分学示例

$x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ 。

$x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}] + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 且 $g (x) = x + 3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 3$ 。

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 2.3

使用 $x + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 6

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 6.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 7

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

将负号移到分数的前面。

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} {(x + 3)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 7.2

组合 $\frac{2}{3}$ 和 ${(x + 3)}^{- \frac{1}{3}}$ 。

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2 {(x + 3)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + 3)}^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 7.4

组合 $\frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ 和 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 3] + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 8

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 10

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} (1 + 0) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 11

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1 + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 11.2

将 $\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

解题步骤 13

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 14

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 15

在公分母上合并分子。

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 16

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

解题步骤 16.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

解题步骤 17

将负号移到分数的前面。

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

解题步骤 18

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 19

组合 ${(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ 和 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 。

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 20

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 21

要将 $\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 22

要将 $\frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 23

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 23.1

将 $\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ 乘以 $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 23.2

将 $\frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 乘以 $\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 23.3

重新排序 $3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}$ 的因式。

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 24

在公分母上合并分子。

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 25

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 25.1

移动 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{2 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 25.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 25.3

在公分母上合并分子。

$\frac{2 x^{\frac{2 + 1}{3}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 25.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 x^{\frac{3}{3}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 25.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$\frac{2 x^{1} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 26

化简 $2 x^{1}$ 。

$\frac{2 x + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 27

通过指数相加将 ${(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ 乘以 ${(x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 27.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x + {(x + 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 27.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 x + {(x + 3)}^{\frac{2 + 1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 27.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 x + {(x + 3)}^{\frac{3}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 27.4

用 $3$ 除以 $3$ 。

$\frac{2 x + {(x + 3)}^{1}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 28

化简 ${(x + 3)}^{1}$ 。

$\frac{2 x + x + 3}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 29

将 $2 x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{3 x + 3}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 30

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (x) + 3}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 31

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (x) + 3 \cdot 1}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 32

从 $3 (x) + 3 (1)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (x + 1)}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 33

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 33.1

从 $3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (x + 1)}{3 (x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}$

解题步骤 33.2

约去公因数。

$\frac{3 (x + 1)}{3 (x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}$

解题步骤 33.3

重写表达式。

$\frac{x + 1}{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

微积分学 示例

微积分学示例