微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{2 {(x + h)}^{3} - 2 x^{3}}{h}$

解题步骤 1

因为项 $\frac{1}{h}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{h} lim_{x \to 0} 2 {(x + h)}^{3} - 2 x^{3}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} 2 {(x + h)}^{3} - lim_{x \to 0} 2 x^{3})$

解题步骤 3

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{h} (2 lim_{x \to 0} {(x + h)}^{3} - lim_{x \to 0} 2 x^{3})$

解题步骤 4

使用极限幂法则把 ${(x + h)}^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{1}{h} (2 {(lim_{x \to 0} x + h)}^{3} - lim_{x \to 0} 2 x^{3})$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{h} (2 {(lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} h)}^{3} - lim_{x \to 0} 2 x^{3})$

解题步骤 6

计算 $h$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{h} (2 {(lim_{x \to 0} x + h)}^{3} - lim_{x \to 0} 2 x^{3})$

解题步骤 7

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{h} (2 {(lim_{x \to 0} x + h)}^{3} - 2 lim_{x \to 0} x^{3})$

解题步骤 8

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{1}{h} (2 {(lim_{x \to 0} x + h)}^{3} - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3})$

解题步骤 9

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 9.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{h} (2 {(0 + h)}^{3} - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3})$

解题步骤 9.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{h} (2 {(0 + h)}^{3} - 2 \cdot 0^{3})$

解题步骤 10

化简答案。

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解题步骤 10.1

将 $0$ 和 $h$ 相加。

$\frac{1}{h} (2 h^{3} - 2 \cdot 0^{3})$

解题步骤 10.2

化简每一项。

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解题步骤 10.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{h} (2 h^{3} - 2 \cdot 0)$

解题步骤 10.2.2

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{h} (2 h^{3} + 0)$

解题步骤 10.3

将 $2 h^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{h} (2 h^{3})$

解题步骤 10.4

使用乘法的交换性质重写。

$2 \frac{1}{h} h^{3}$

解题步骤 10.5

组合 $2$ 和 $\frac{1}{h}$ 。

$\frac{2}{h} h^{3}$

解题步骤 10.6

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 10.6.1

从 $h^{3}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{2}{h} (h \cdot h^{2})$

解题步骤 10.6.2

约去公因数。

$\frac{2}{h} (h \cdot h^{2})$

解题步骤 10.6.3

重写表达式。

$2 h^{2}$

微积分学 示例

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