微积分学示例

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} (2 - \csc^{2} (x)) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} 2 - \csc^{2} (x) d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} 2 d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - \csc^{2} (x) d x$

解题步骤 3

应用常数不变法则。

$2 x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - \csc^{2} (x) d x$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$2 x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (x) d x$

解题步骤 5

因为 $- \cot (x)$ 的导数为 $\csc^{2} (x)$ ，所以 $\csc^{2} (x)$ 的积分为 $- \cot (x)$ 。

$2 x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - (- \cot (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}})$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

代入并化简。

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解题步骤 6.1.1

计算 $2 x$ 在 $\frac{π}{2}$ 处和在 $\frac{π}{4}$ 处的值。

$(2 \frac{π}{2}) - 2 \frac{π}{4} - (- \cot (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}})$

解题步骤 6.1.2

计算 $- \cot (x)$ 在 $\frac{π}{2}$ 处和在 $\frac{π}{4}$ 处的值。

$2 \frac{π}{2} - 2 \frac{π}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

解题步骤 6.1.3

化简。

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解题步骤 6.1.3.1

组合 $2$ 和 $\frac{π}{2}$ 。

$\frac{2 π}{2} - 2 \frac{π}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

解题步骤 6.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.3.2.1

约去公因数。

$\frac{2 π}{2} - 2 \frac{π}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

解题步骤 6.1.3.2.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π - 2 \frac{π}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

解题步骤 6.1.3.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{π}{4}$ 。

$π + \frac{- 2 π}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

解题步骤 6.1.3.4

约去 $- 2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.3.4.1

从 $- 2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$π + \frac{2 (- π)}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

解题步骤 6.1.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 6.1.3.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$π + \frac{2 (- π)}{2 (2)} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

解题步骤 6.1.3.4.2.2

约去公因数。

$π + \frac{2 (- π)}{2 \cdot 2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

解题步骤 6.1.3.4.2.3

重写表达式。

$π + \frac{- π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

解题步骤 6.1.3.5

将负号移到分数的前面。

$π - \frac{π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

解题步骤 6.1.3.6

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

解题步骤 6.1.3.7

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

解题步骤 6.1.3.8

在公分母上合并分子。

$\frac{π \cdot 2 - π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

解题步骤 6.1.3.9

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot π - π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

解题步骤 6.1.3.10

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

$\cot (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{π}{2} - (- 0 + \cot (\frac{π}{4}))$

解题步骤 6.2.2

$\cot (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{π}{2} - (- 0 + 1)$

解题步骤 6.2.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{π}{2} - (0 + 1)$

解题步骤 6.2.4

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{π}{2} - 1 \cdot 1$

解题步骤 6.2.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{π}{2} - 1$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{π}{2} - 1$

小数形式：

$0.57079632 \dots$

微积分学 示例

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