微积分学示例

$\int_{- 1}^{1} (3 x^{3} - x^{2} + x - 1) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{- 1}^{1} 3 x^{3} - x^{2} + x - 1 d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- 1}^{1} 3 x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - 1 d x$

解题步骤 3

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int_{- 1}^{1} x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - 1 d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$3 (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - 1 d x$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$3 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - 1 d x$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$3 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) - \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - 1 d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$3 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - 1 d x$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$3 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - 1 d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$3 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - 1 d x$

解题步骤 10

应用常数不变法则。

$3 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + - x]_{- 1}^{1}$

解题步骤 11

化简答案。

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解题步骤 11.1

组合 $\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1}$ 和 $- x]_{- 1}^{1}$ 。

$3 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \frac{1}{2} x^{2} - x]_{- 1}^{1}$

解题步骤 11.2

代入并化简。

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解题步骤 11.2.1

计算 $\frac{x^{4}}{4}$ 在 $1$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$3 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \frac{1}{2} x^{2} - x]_{- 1}^{1}$

解题步骤 11.2.2

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $1$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$3 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + \frac{1}{2} x^{2} - x]_{- 1}^{1}$

解题步骤 11.2.3

计算 $\frac{1}{2} x^{2} - x$ 在 $1$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$3 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

解题步骤 11.2.4

化简。

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解题步骤 11.2.4.1

一的任意次幂都为一。

$3 (\frac{1}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

解题步骤 11.2.4.2

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$3 (\frac{1}{4} - \frac{1}{4}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

解题步骤 11.2.4.3

在公分母上合并分子。

$3 \frac{1 - 1}{4} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

解题步骤 11.2.4.4

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$3 (\frac{0}{4}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

解题步骤 11.2.4.5

约去 $0$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.4.5.1

从 $0$ 中分解出因数 $4$ 。

$3 \frac{4 (0)}{4} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

解题步骤 11.2.4.5.2

约去公因数。

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解题步骤 11.2.4.5.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$3 \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

解题步骤 11.2.4.5.2.2

约去公因数。

$3 \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

解题步骤 11.2.4.5.2.3

重写表达式。

$3 (\frac{0}{1}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

解题步骤 11.2.4.5.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$3 \cdot 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

解题步骤 11.2.4.6

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

解题步骤 11.2.4.7

一的任意次幂都为一。

$0 - (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

解题步骤 11.2.4.8

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$0 - (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

解题步骤 11.2.4.9

将负号移到分数的前面。

$0 - (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

解题步骤 11.2.4.10

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$0 - (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

解题步骤 11.2.4.11

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$0 - (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

解题步骤 11.2.4.12

在公分母上合并分子。

$0 - \frac{1 + 1}{3} + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

解题步骤 11.2.4.13

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$0 - \frac{2}{3} + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

解题步骤 11.2.4.14

从 $0$ 中减去 $\frac{2}{3}$ 。

$- \frac{2}{3} + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

解题步骤 11.2.4.15

一的任意次幂都为一。

$- \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

解题步骤 11.2.4.16

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{2}{3} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

解题步骤 11.2.4.17

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{2}{3} + \frac{1}{2} - 1 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

解题步骤 11.2.4.18

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{2}{3} + \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

解题步骤 11.2.4.19

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{2}{3} + \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

解题步骤 11.2.4.20

在公分母上合并分子。

$- \frac{2}{3} + \frac{1 - 1 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

解题步骤 11.2.4.21

化简分子。

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解题步骤 11.2.4.21.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{2}{3} + \frac{1 - 2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

解题步骤 11.2.4.21.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{2}{3} + \frac{- 1}{2} - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

解题步骤 11.2.4.22

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{3} - \frac{1}{2} - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

解题步骤 11.2.4.23

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{2}{3} - \frac{1}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1 - - 1)$

解题步骤 11.2.4.24

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{2}{3} - \frac{1}{2} - (\frac{1}{2} - - 1)$

解题步骤 11.2.4.25

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{2}{3} - \frac{1}{2} - (\frac{1}{2} + 1)$

解题步骤 11.2.4.26

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{2}{3} - \frac{1}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

解题步骤 11.2.4.27

在公分母上合并分子。

$- \frac{2}{3} - \frac{1}{2} - \frac{1 + 2}{2}$

解题步骤 11.2.4.28

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{2}{3} - \frac{1}{2} - \frac{3}{2}$

解题步骤 11.2.4.29

在公分母上合并分子。

$- \frac{2}{3} + \frac{- 1 - 3}{2}$

解题步骤 11.2.4.30

从 $- 1$ 中减去 $3$ 。

$- \frac{2}{3} + \frac{- 4}{2}$

解题步骤 11.2.4.31

约去 $- 4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.4.31.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

解题步骤 11.2.4.31.2

约去公因数。

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解题步骤 11.2.4.31.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

解题步骤 11.2.4.31.2.2

约去公因数。

$- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 11.2.4.31.2.3

重写表达式。

$- \frac{2}{3} + \frac{- 2}{1}$

解题步骤 11.2.4.31.2.4

用 $- 2$ 除以 $1$ 。

$- \frac{2}{3} - 2$

解题步骤 11.2.4.32

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{2}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 11.2.4.33

组合 $- 2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{2}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 11.2.4.34

在公分母上合并分子。

$\frac{- 2 - 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 11.2.4.35

化简分子。

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解题步骤 11.2.4.35.1

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 2 - 6}{3}$

解题步骤 11.2.4.35.2

从 $- 2$ 中减去 $6$ 。

$\frac{- 8}{3}$

解题步骤 11.2.4.36

将负号移到分数的前面。

$- \frac{8}{3}$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{8}{3}$

小数形式：

$- 2.\overline{6}$

带分数形式：

$- 2 \frac{2}{3}$

解题步骤 13

微积分学 示例

微积分学示例