微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 3 x + 12}{- 6 \ln (x^{3})}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 3 x + 12}{lim_{x \to \infty} - 6 \ln (x^{3})}$

解题步骤 1.2

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - 6 \ln (x^{3})}$

解题步骤 1.3

因为函数 $\ln (x^{3})$ 趋于 $\infty$ ，所以负常数 $- 6$ 乘以函数趋于 $- \infty$ 。

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解题步骤 1.3.1

思考去掉常数倍数 $- 6$ 后的极限。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x^{3})}$

解题步骤 1.3.2

当对数趋于无穷大时，值趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 1.3.3

因为函数 $\ln (x^{3})$ 趋于 $\infty$ ，所以负常数 $- 6$ 乘以函数趋于 $- \infty$ 。

$\frac{\infty}{- \infty}$

解题步骤 1.3.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{- \infty}$

解题步骤 1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{- \infty}$

解题步骤 2

因为 $\frac{\infty}{- \infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 3 x + 12}{- 6 \ln (x^{3})} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $x^{2} + 3 x + 12$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [12]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 3.4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

解题步骤 3.4.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

解题步骤 3.5

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 + 0}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

解题步骤 3.6

将 $2 x + 3$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

解题步骤 3.7

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 \ln (x^{3})$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]}$

解题步骤 3.8

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

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解题步骤 3.8.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{3}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{3}])}$

解题步骤 3.8.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{3}])}$

解题步骤 3.8.3

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- 6 (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}])}$

解题步骤 3.9

组合 $\frac{1}{x^{3}}$ 和 $- 6$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{- 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 3.10

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- \frac{6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 3.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- \frac{6}{x^{3}} (3 x^{2})}$

解题步骤 3.12

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- 3 \frac{6}{x^{3}} x^{2}}$

解题步骤 3.13

组合 $- 3$ 和 $\frac{6}{x^{3}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{- 3 \cdot 6}{x^{3}} x^{2}}$

解题步骤 3.14

将 $- 3$ 乘以 $6$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{- 18}{x^{3}} x^{2}}$

解题步骤 3.15

组合 $\frac{- 18}{x^{3}}$ 和 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{- 18 x^{2}}{x^{3}}}$

解题步骤 3.16

约去 $x^{2}$ 和 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 3.16.1

从 $- 18 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{x^{2} \cdot - 18}{x^{3}}}$

解题步骤 3.16.2

约去公因数。

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解题步骤 3.16.2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{x^{2} \cdot - 18}{x^{2} x}}$

解题步骤 3.16.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{x^{2} \cdot - 18}{x^{2} x}}$

解题步骤 3.16.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{- 18}{x}}$

解题步骤 3.17

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- \frac{18}{x}}$

解题步骤 4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to \infty} (2 x + 3) (- \frac{x}{18})$

解题步骤 5

运用分配律。

$lim_{x \to \infty} 2 x (- \frac{x}{18}) + 3 (- \frac{x}{18})$

解题步骤 6

化简表达式。

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解题步骤 6.1

移动 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} 2 \cdot - 1 x \frac{x}{18} + 3 (- \frac{x}{18})$

解题步骤 6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to \infty} - 2 x \frac{x}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

解题步骤 7

组合 $- 2 x$ 和 $\frac{x}{18}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x \cdot x}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

解题步骤 8

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 (x^{1} x)}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

解题步骤 9

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

解题步骤 10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x^{1 + 1}}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

解题步骤 11

合并分数。

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解题步骤 11.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x^{2}}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

解题步骤 11.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x^{2}}{18} - 3 \frac{x}{18}$

解题步骤 11.3

组合 $- 3$ 和 $\frac{x}{18}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x^{2}}{18} + \frac{- 3 x}{18}$

解题步骤 12

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\infty$

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