微积分学示例

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}}$

解题步骤 1

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x = - \sqrt{x^{2}}$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

约去 $x$ 的公因数。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}}$

解题步骤 2.2

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

约去公因数。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}}$

解题步骤 2.2.2

重写表达式。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}}$

解题步骤 2.3

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}}$

解题步骤 2.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}}$

解题步骤 2.5

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}}$

解题步骤 2.6

将极限移入根号内。

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{4}{x^{2}}}}$

解题步骤 2.7

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x^{2}}}}$

解题步骤 2.8

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{- \sqrt{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x^{2}}}}$

解题步骤 2.9

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{- \sqrt{1 + 4 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 3

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{1}{- \sqrt{1 + 4 \cdot 0}}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{1 + 4 \cdot 0}}$

解题步骤 4.1.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{\sqrt{1 + 4 \cdot 0}}$

解题步骤 4.2

化简分母。

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解题步骤 4.2.1

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

解题步骤 4.2.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{1}{\sqrt{1}}$

解题步骤 4.2.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$- \frac{1}{1}$

解题步骤 4.3

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

约去公因数。

$- \frac{1}{1}$

解题步骤 4.3.2

重写表达式。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 4.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

微积分学 示例

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