微积分学示例

$\int_{0}^{1} \sqrt{x - x^{2}} d x$

解题步骤 1

配方。

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解题步骤 1.1

将 $x$ 和 $- x^{2}$ 重新排序。

$- x^{2} + x$

解题步骤 1.2

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = - 1$

$b = 1$

$c = 0$

解题步骤 1.3

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.4

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.4.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{1}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 1.4.2

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$d = \frac{- 1 (- 1)}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 1.4.2.2

将负号移到分数的前面。

$d = - \frac{1}{2}$

解题步骤 1.5

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.5.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 1.5.2

化简右边。

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解题步骤 1.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 1.5.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$e = 0 - \frac{1}{- 4}$

解题步骤 1.5.2.1.3

将负号移到分数的前面。

$e = 0 - - \frac{1}{4}$

解题步骤 1.5.2.1.4

乘以 $- - \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 1.5.2.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e = 0 + 1 (\frac{1}{4})$

解题步骤 1.5.2.1.4.2

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 + \frac{1}{4}$

解题步骤 1.5.2.2

将 $0$ 和 $\frac{1}{4}$ 相加。

$e = \frac{1}{4}$

解题步骤 1.6

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}$ 。

$\int_{0}^{1} \sqrt{- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}} d x$

解题步骤 2

使 $u_{1} = x - \frac{1}{2}$ 。然后使 $d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u_{1} = x - \frac{1}{2}$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $x - \frac{1}{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - \frac{1}{2}]$

解题步骤 2.1.2

根据加法法则， $x - \frac{1}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

解题步骤 2.1.4

因为 $- \frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{1}{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u_{1} = x - \frac{1}{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 0 - \frac{1}{2}$

解题步骤 2.3

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{2}$ 。

$u_{lower} = - \frac{1}{2}$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u_{1} = x - \frac{1}{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1 - \frac{1}{2}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$u_{upper} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 2.5.2

在公分母上合并分子。

$u_{upper} = \frac{2 - 1}{2}$

解题步骤 2.5.3

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

解题步骤 2.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - \frac{1}{2}$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

解题步骤 2.7

使用 $u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + \frac{1}{4}} d u_{1}$

解题步骤 3

使用指数书写表达式。

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解题步骤 3.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + \frac{1^{2}}{4}} d u_{1}$

解题步骤 3.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + \frac{1^{2}}{2^{2}}} d u_{1}$

解题步骤 4

将 $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ 重写为 ${(\frac{1}{2})}^{2}$ 。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}} d u_{1}$

解题步骤 5

将 $- {u_{1}}^{2}$ 和 ${(\frac{1}{2})}^{2}$ 重新排序。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

解题步骤 6

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \frac{1}{2}$ 和 $b = u_{1}$ 。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{(\frac{1}{2} + u_{1}) (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

解题步骤 7

要将 $u_{1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{(\frac{1}{2} + u_{1} \cdot \frac{2}{2}) (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

解题步骤 8

化简项。

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解题步骤 8.1

组合 $u_{1}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{(\frac{1}{2} + \frac{u_{1} \cdot 2}{2}) (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

解题步骤 8.2

在公分母上合并分子。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + u_{1} \cdot 2}{2} (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

解题步骤 9

将 $2$ 移到 $u_{1}$ 的左侧。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

解题步骤 10

要将 $- u_{1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} (\frac{1}{2} - u_{1} \cdot \frac{2}{2})} d u_{1}$

解题步骤 11

组合 $- u_{1}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} (\frac{1}{2} + \frac{- u_{1} \cdot 2}{2})} d u_{1}$

解题步骤 12

在公分母上合并分子。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} \cdot \frac{1 - u_{1} \cdot 2}{2}} d u_{1}$

解题步骤 13

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} \cdot \frac{1 - 2 u_{1}}{2}} d u_{1}$

解题步骤 14

将 $\frac{1 + 2 u_{1}}{2}$ 乘以 $\frac{1 - 2 u_{1}}{2}$ 。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}{2 \cdot 2}} d u_{1}$

解题步骤 15

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}{4}} d u_{1}$

解题步骤 16

将 $\frac{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}{4}$ 重写为 ${(\frac{1}{2})}^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))$ 。

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解题步骤 16.1

从 $(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))}{4}} d u_{1}$

解题步骤 16.2

从 $4$ 中因式分解出完全幂数 $2^{2}$ 。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))}{2^{2} \cdot 1}} d u_{1}$

解题步骤 16.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))}{2^{2} \cdot 1}$ 。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))} d u_{1}$

解题步骤 17

化简项。

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解题步骤 17.1

从根式下提出各项。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} \sqrt{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})} d u_{1}$

解题步骤 17.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sqrt{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}$ 。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

解题步骤 18

使用 FOIL 方法展开 $(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})$ 。

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解题步骤 18.1

运用分配律。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 (1 - 2 u_{1}) + 2 u_{1} (1 - 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

解题步骤 18.2

运用分配律。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 \cdot 1 + 1 (- 2 u_{1}) + 2 u_{1} (1 - 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

解题步骤 18.3

运用分配律。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 \cdot 1 + 1 (- 2 u_{1}) + 2 u_{1} \cdot 1 + 2 u_{1} (- 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

解题步骤 19

化简并合并同类项。

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解题步骤 19.1

化简每一项。

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解题步骤 19.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 + 1 (- 2 u_{1}) + 2 u_{1} \cdot 1 + 2 u_{1} (- 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

解题步骤 19.1.2

将 $- 2 u_{1}$ 乘以 $1$ 。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} \cdot 1 + 2 u_{1} (- 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

解题步骤 19.1.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} + 2 u_{1} (- 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

解题步骤 19.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} + 2 \cdot - 2 u_{1} \cdot u_{1}}}{2} d u_{1}$

解题步骤 19.1.5

通过指数相加将 $u_{1}$ 乘以 $u_{1}$ 。

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解题步骤 19.1.5.1

移动 $u_{1}$ 。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} + 2 \cdot - 2 (u_{1} \cdot u_{1})}}{2} d u_{1}$

解题步骤 19.1.5.2

将 $u_{1}$ 乘以 $u_{1}$ 。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} + 2 \cdot - 2 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

解题步骤 19.1.6

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} - 4 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

解题步骤 19.2

将 $- 2 u_{1}$ 和 $2 u_{1}$ 相加。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 + 0 - 4 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

解题步骤 19.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 4 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

解题步骤 20

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 4 {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

解题步骤 21

使 $u_{1} = \frac{1}{2} \sin (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d u_{1} = \frac{\cos (t)}{2} d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\frac{\cos (t)}{2}$ 为正数。

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

解题步骤 22

化简项。

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解题步骤 22.1

化简 $\sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}}$ 。

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解题步骤 22.1.1

化简每一项。

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解题步骤 22.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sin (t)$ 。

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - 4 {(\frac{\sin (t)}{2})}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

解题步骤 22.1.1.2

对 $\frac{\sin (t)}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{2^{2}}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

解题步骤 22.1.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

解题步骤 22.1.1.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 22.1.1.4.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 + 4 (- 1) \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

解题步骤 22.1.1.4.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 + 4 \cdot - 1 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

解题步骤 22.1.1.4.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

解题步骤 22.1.2

使用勾股恒等式。

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{\cos^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

解题步骤 22.1.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (t) \frac{\cos (t)}{2} d t$

解题步骤 22.2

化简。

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解题步骤 22.2.1

组合 $\cos (t)$ 和 $\frac{\cos (t)}{2}$ 。

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (t) \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 22.2.2

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{1} (t) \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 22.2.3

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)}{2} d t$

解题步骤 22.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{{\cos (t)}^{1 + 1}}{2} d t$

解题步骤 22.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 23

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t)$

解题步骤 24

化简。

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解题步骤 24.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

解题步骤 24.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{4} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

解题步骤 25

使用半角公式将 $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ 重新书写为 $\cos^{2} (t)$ 的形式。

$\frac{1}{4} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

解题步骤 26

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

解题步骤 27

化简。

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解题步骤 27.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

解题步骤 27.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{8} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

解题步骤 28

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{8} (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

解题步骤 29

应用常数不变法则。

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

解题步骤 30

使 $u_{2} = 2 t$ 。然后使 $d u_{2} = 2 d t$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 30.1

设 $u_{2} = 2 t$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d t}$ 。

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解题步骤 30.1.1

对 $2 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

解题步骤 30.1.2

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 30.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 30.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 30.2

将下限代入替换 $u_{2} = 2 t$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

解题步骤 30.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 30.3.1

将 $- \frac{π}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

解题步骤 30.3.2

约去公因数。

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

解题步骤 30.3.3

重写表达式。

$u_{lower} = - π$

解题步骤 30.4

将上限代入替换 $u_{2} = 2 t$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

解题步骤 30.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 30.5.1

约去公因数。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

解题步骤 30.5.2

重写表达式。

$u_{upper} = π$

解题步骤 30.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

解题步骤 30.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

解题步骤 31

组合 $\cos (u_{2})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

解题步骤 32

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

解题步骤 33

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\sin (u_{2})$ 。

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

解题步骤 34

代入并化简。

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解题步骤 34.1

计算 $t$ 在 $\frac{π}{2}$ 处和在 $- \frac{π}{2}$ 处的值。

$\frac{1}{8} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

解题步骤 34.2

计算 $\sin (u_{2})$ 在 $π$ 处和在 $- π$ 处的值。

$\frac{1}{8} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

解题步骤 34.3

化简。

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解题步骤 34.3.1

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{8} (\frac{π + π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

解题步骤 34.3.2

将 $π$ 和 $π$ 相加。

$\frac{1}{8} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

解题步骤 34.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 34.3.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{8} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

解题步骤 34.3.3.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (- π)))$

解题步骤 35

化简。

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解题步骤 35.1

化简每一项。

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解题步骤 35.1.1

化简每一项。

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解题步骤 35.1.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (\sin (0) - \sin (- π)))$

解题步骤 35.1.1.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (- π)))$

解题步骤 35.1.1.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (0)))$

解题步骤 35.1.1.4

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (0 - 0))$

解题步骤 35.1.1.5

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (0 + 0))$

解题步骤 35.1.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} \cdot 0)$

解题步骤 35.1.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{8} (π + 0)$

解题步骤 35.2

将 $π$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{8} π$

解题步骤 35.3

组合 $\frac{1}{8}$ 和 $π$ 。

$\frac{π}{8}$

解题步骤 36

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{π}{8}$

小数形式：

$0.39269908 \dots$

解题步骤 37

微积分学 示例

微积分学示例