微积分学示例

$lim_{x \to \frac{π}{6}} - 3 \cos (- x) - 4 \tan (- x)$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{6}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- lim_{x \to \frac{π}{6}} 3 \cos (- x) - lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \tan (- x)$

解题步骤 2

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 3 lim_{x \to \frac{π}{6}} \cos (- x) - lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \tan (- x)$

解题步骤 3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$- 3 \cos (lim_{x \to \frac{π}{6}} - x) - lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \tan (- x)$

解题步骤 4

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 3 \cos (- lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \tan (- x)$

解题步骤 5

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 3 \cos (- lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - 4 lim_{x \to \frac{π}{6}} \tan (- x)$

解题步骤 6

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$- 3 \cos (- lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - 4 \tan (lim_{x \to \frac{π}{6}} - x)$

解题步骤 7

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 3 \cos (- lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - 4 \tan (- lim_{x \to \frac{π}{6}} x)$

解题步骤 8

将 $\frac{π}{6}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 8.1

将 $\frac{π}{6}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- 3 \cos (- \frac{π}{6}) - 4 \tan (- lim_{x \to \frac{π}{6}} x)$

解题步骤 8.2

将 $\frac{π}{6}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- 3 \cos (- \frac{π}{6}) - 4 \tan (- \frac{π}{6})$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$- 3 \cos (\frac{11 π}{6}) - 4 \tan (- \frac{π}{6})$

解题步骤 9.1.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$- 3 \cos (\frac{π}{6}) - 4 \tan (- \frac{π}{6})$

解题步骤 9.1.3

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- 3 \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \tan (- \frac{π}{6})$

解题步骤 9.1.4

组合 $- 3$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{- 3 \sqrt{3}}{2} - 4 \tan (- \frac{π}{6})$

解题步骤 9.1.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3 \sqrt{3}}{2} - 4 \tan (- \frac{π}{6})$

解题步骤 9.1.6

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$- \frac{3 \sqrt{3}}{2} - 4 \tan (\frac{11 π}{6})$

解题步骤 9.1.7

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，求得参考角。令表达式取负值，因为正切在第四象限为负。

$- \frac{3 \sqrt{3}}{2} - 4 (- \tan (\frac{π}{6}))$

解题步骤 9.1.8

$\tan (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$- \frac{3 \sqrt{3}}{2} - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

解题步骤 9.1.9

乘以 $- 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ 。

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解题步骤 9.1.9.1

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$- \frac{3 \sqrt{3}}{2} + 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 9.1.9.2

组合 $4$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$- \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 9.2

要将 $- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 9.3

要将 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 9.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 9.4.1

将 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{3 \sqrt{3} \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 9.4.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{3 \sqrt{3} \cdot 3}{6} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 9.4.3

将 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{3 \sqrt{3} \cdot 3}{6} + \frac{4 \sqrt{3} \cdot 2}{3 \cdot 2}$

解题步骤 9.4.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{3 \sqrt{3} \cdot 3}{6} + \frac{4 \sqrt{3} \cdot 2}{6}$

解题步骤 9.5

在公分母上合并分子。

$\frac{- 3 \sqrt{3} \cdot 3 + 4 \sqrt{3} \cdot 2}{6}$

解题步骤 9.6

化简分子。

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解题步骤 9.6.1

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{- 9 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} \cdot 2}{6}$

解题步骤 9.6.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- 9 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 9.6.3

将 $- 9 \sqrt{3}$ 和 $8 \sqrt{3}$ 相加。

$\frac{- \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 9.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{\sqrt{3}}{6}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{\sqrt{3}}{6}$

小数形式：

$- 0.28867513 \dots$

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