微积分学示例

$f (x) = {\begin{cases} c x^{2} + 4 x & x < 5 \\ x^{3} - c x & x \geq 5 \end{cases}$

解题步骤 1

当 $x$ 从左侧趋于 $5$ 时，求 $c x^{2} + 4 x$ 的极限。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

将左右极限改为左极限。

$lim_{x \to 5^{-}} c x^{2} + 4 x$

解题步骤 1.2

当 $x$ 趋于 $5$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to 5^{-}} c x^{2} + lim_{x \to 5^{-}} 4 x$

解题步骤 1.3

因为项 $c$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$c lim_{x \to 5^{-}} x^{2} + lim_{x \to 5^{-}} 4 x$

解题步骤 1.4

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$c {(lim_{x \to 5^{-}} x)}^{2} + lim_{x \to 5^{-}} 4 x$

解题步骤 1.5

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$c {(lim_{x \to 5^{-}} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 5^{-}} x$

解题步骤 1.6

将 $5$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.6.1

将 $5$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$c \cdot 5^{2} + 4 lim_{x \to 5^{-}} x$

解题步骤 1.6.2

将 $5$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$c \cdot 5^{2} + 4 \cdot 5$

解题步骤 1.7

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$c \cdot 25 + 4 \cdot 5$

解题步骤 1.7.2

将 $25$ 移到 $c$ 的左侧。

$25 \cdot c + 4 \cdot 5$

解题步骤 1.7.3

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$25 c + 20$

解题步骤 2

计算 $x^{3} - c x$ 在 $5$ 处的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使用表达式中的 $5$ 替换变量 $x$ 。

${(5)}^{3} - c \cdot 5$

解题步骤 2.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$125 - c \cdot 5$

解题步骤 2.2.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$125 - 5 c$

解题步骤 3

由于当 $x$ 从左侧趋于 $5$ 时， $c x^{2} + 4 x$ 的极限不等于 $x = 5$ 处的函数值，因此函数在 $x = 5$ 处不连续。

不连续

解题步骤 4

微积分学 示例

微积分学示例